定積分の基本公式

微分すると $f(x)$ になる関数を、$f(x)$ の原始関数 (primitive function) という。つまり \[F'(x)=f(x)\] のとき、$F(x)$ を $f(x)$ の原始関数という。

原始関数は一通りには定まらない。たとえば、$x^3$、$x^3+2$、$x^3-\sqrt{5}$ などは微分すると、どれも $3x^2$ となるので、これらはすべて $3x^2$ の原始関数である。任意の定数 $A$ を $x$ で微分すると $0$ になるので、一般には $x^3+A$ で表されるものすべてが $3x^2$ の原始関数となる。

これから、次のことがいえる。

また、原始関数について次のことがいえる。

【証明】

1. $F(x)+G(x)$ を微分すると \begin{align} \left\{F(x)+G(x)\right\}'&=F'(x)+G'(x)\\ &=f(x)+g(x) \end{align} となり、$F(x)+G(x)$ は確かに $f(x)+g(x)$ の原始関数である。
2. $kF(x)$ を微分すると \begin{align} \left\{kF(x)\right\}'&=kF'(x)\\ &=kf(x) \end{align} となり、$kF(x)$ は確かに $kf(x)$ の原始関数である。

吹き出し原始関数とは何か

ii の式は、$\underbrace{\dfrac{1}{n+1}(ax+b)^{n+1}}_{\text{i}と似ている部分}\times\dfrac{1}{a}$ と覚えよう。

【証明】

1. $\dfrac{1}{n+1}x^{n+1}+A$ を $x$ で微分すると \begin{align} &\left(\dfrac{1}{n+1}x^{n+1}+A\right)'\\ =&\dfrac{1}{n+1}\cdot(n+1)x^n\\ =&x^n \end{align} となるので、確かに $x^n$ の原始関数である。
2. $\dfrac{1}{a(n+1)}(ax+b)^{n+1}+A$ を $x$ で微分すると（←『微分の計算法則iv)』参照） \begin{align} &\left(\dfrac{1}{a(n+1)}(ax+b)^{n+1}+A\right)'\\ =&\dfrac{1}{a(n+1)}\cdot{a(n+1)(ax+b)^n}\\ =&(ax+b)^n \end{align} となるので、確かに $(ax+b)n$ の原始関数である。