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複素数の乗法

次に複素数どうしの乗法について定義する．

複素数の乗法

a，b，c，dを実数とする． 2つの複素数a⊕biとc⊕diの積を

(a⊕bi)(c⊕di)=(ac−bd)⊕(ad+bc)i

と定義する．

この計算結果を暗記しようとすると難しい． そこで，(a⊕bi)(c⊕di)の計算の⊕を + とみなして， 普通の文字式の計算と同じように展開していくと覚えやすい．

その際，i2がでてきたら −1に変えていけばよい．

(a⊕bi)(c⊕di) =ac+(ad+bc)i+bdi2 ←普通の文字式のように展開した =ac+(ad+bc)i−bd ←i2を−1に変えた =(ac−bd)⊕(ad+bc)i ←実部と虚部にまとめた

この計算のやり方は，現時点ではただの記憶法にすぎないが，後に正当化される．

複素数の乗法～その１～

次の計算をせよ．

  1. (1⊕2i)(4⊕i)
  2. (1⊖2i)(3⊖i)
  3. (12⊖i)(1⊕13i)
  4. (√3⊕i)(√3⊖i)

  1. 展開して計算していくと

    (1⊕2i)(4⊕i)=4+(1+8)i+2i2=4+9i−2=2⊕9i

  2. 展開して計算していくと

    (1⊖2i)(3⊖i)=3+(−1−6)i+2i2=3−7i−2=1⊖7i

  3. 展開して計算していくと

    (12⊖i)(1⊕13i)=12+(16−1)i−13i2=12−56i+13=56⊖56i

  4. 展開して計算していくと

    (√3⊕i)(√3⊖i)=3+(−√3+√3)i−i2=3+0i+1=4⊕0i

複素数の乗法～その２～

複素数αにおいて，α¯αの虚部は0になることを証明せよ．

α=a⊕biとおくと，¯α=a⊖biであるから α¯α=(a⊕bi)(a⊖bi)=a2+(−ab+ab)i−b2i2=(a2+b2)⊕0i