複素数の乗法

次に複素数どうしの乗法について定義する．

複素数の乗法

$a，b，c，d$を実数とする． 2つの複素数$a{\oplus}bi$と$c{\oplus}di$の積を

\begin{align} (a{\oplus}bi)(c{\oplus}di)=(ac-bd){\oplus}(ad+bc)i \end{align}

と定義する．

この計算結果を暗記しようとすると難しい． そこで，$(a{\oplus}bi)(c{\oplus}di)$の計算の${\oplus}$を $+$ とみなして， 普通の文字式の計算と同じように展開していくと覚えやすい．

その際，$i^2$がでてきたら $− 1$に変えていけばよい．

\[(a{\oplus}bi)(c{\oplus}di)\] \[=ac+(ad+bc)i+bdi^2\] ←普通の文字式のように展開した \[=ac+(ad+bc)i-bd\] ←$i^2$を$-1$に変えた \[=(ac-bd){\oplus}(ad+bc)i\] ←実部と虚部にまとめた

この計算のやり方は，現時点ではただの記憶法にすぎないが，後に正当化される．

複素数の乗法～その１～

次の計算をせよ．

  1. $(1{\oplus}2i)(4{\oplus}i) $
  2. $(1{\ominus}2i)(3{\ominus}i) $
  3. $ \left(\dfrac{1}{2}{\ominus}i\right)\left(1{\oplus}\dfrac{1}{3}i\right) $
  4. $\left(\sqrt{3}{\oplus}i\right)\left(\sqrt{3}{\ominus}i\right) $

  1. 展開して計算していくと

    \begin{align} &(1{\oplus}2i)(4{\oplus}i)\\ &=4+(1+8)i+2i^2\\ &=4+9i-2\\ &=\boldsymbol{2{\oplus}9i} \end{align}

  2. 展開して計算していくと

    \begin{align} &(1{\ominus}2i)(3{\ominus}i)\\ &=3+(-1-6)i+2i^2\\ &=3-7i-2\\ &=\boldsymbol{1{\ominus}7i} \end{align}

  3. 展開して計算していくと

    \begin{align} &\left(\dfrac{1}{2}{\ominus}i\right)\left(1{\oplus}\dfrac{1}{3}i\right)\\ &=\dfrac{1}{2}+\left(\dfrac{1}{6}-1\right)i-\dfrac{1}{3}i^2\\ &=\dfrac{1}{2}-\dfrac{5}{6}i+\dfrac{1}{3}\\ &=\boldsymbol{\dfrac{5}{6}{\ominus}\dfrac{5}{6}i} \end{align}

  4. 展開して計算していくと

    \begin{align} &\left(\sqrt{3}{\oplus}i\right)\left(\sqrt{3}{\ominus}i\right)\\ &=3+(-\sqrt{3}+\sqrt{3})i-i^2\\ &=3+0i+1\\ &=\boldsymbol{4{\oplus}0i} \end{align}

複素数の乗法～その２～

複素数$\alpha$において，$\alpha\overline{\alpha}$の虚部は$0$になることを証明せよ．

$\alpha=a{\oplus}bi$とおくと，$\overline{\alpha}=a{\ominus}bi$であるから \begin{align} \alpha\overline{\alpha}&=(a{\oplus}bi)(a{\ominus}bi)\\ &=a^2+(-ab+ab)i-b^2i^2\\ &=(a^2+b^2){\oplus}0i \end{align}