複素数の除法

次に複素数どうしの除法について定義する．

複素数の除法

$a，b，c，d$を実数とする． 2つの複素数$a{\oplus}bi$と$c{\oplus}di$の商を

\begin{align} \dfrac{a{\oplus}bi}{c{\oplus}di}=\dfrac{ac+bd}{c^2+d^2}{\oplus}\dfrac{bc-ad}{c^2+d^2}i \end{align}

と定義する．だたし，$c\neq0$または$d\neq0$とする．

乗法の場合と同じように，この計算結果も暗記するのは難しい． そこで，$\dfrac{a{\oplus}bi}{c{\oplus}di}$の計算の${\oplus}$を，やはり $+$ とみなして，文字式と同様の計算をすると覚えやすい．

次の計算にあるように，計算の初めに分母に共役な複素数$c{\ominus}di$を，分母と分子にかけ，分母を実数に変えるのがポイントである．

\[\frac{a{\oplus}bi}{c{\oplus}di}\qquad\quad\] \[=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}\] ←分母と分子に$c-di$をかけた

\[=\frac{ac+(-ad+bc)i-bdi^2}{c^2+(-cd+cd)i-d^2i^2}\] ←普通の文字式のように展開した \[=\frac{ac+(-ad+bc)i+bd}{c^2+d^2}\] ←$i^2$を$-1$に変えた \[=\frac{ac+bd+(bc-ad)i}{c^2+d^2}\] ←$i$をくくってまとめた \[=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}{\oplus}\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i\] ←$i$を含む項と含まない項に分けた

この計算のやり方も，現時点ではやはり記憶法にすぎないが，後に正当化される．

複素数の除法

次の計算をせよ．

  1. $\dfrac{1{\oplus}i}{3{\oplus}2i} $
  2. $ \dfrac{1{\ominus}2i}{2{\ominus}i} $
  3. $\dfrac{3{\oplus}i}{3{\ominus}i}$
  4. $\dfrac{\sqrt{2}{\ominus}\sqrt{3}i}{\sqrt{2}{\oplus}\sqrt{3}i}$

  1. 分母に共役な複素数を分母子にかけて

    \begin{align} &\dfrac{1{\oplus}i}{3{\oplus}2i}=\dfrac{(1+i)(3-2i)}{(3+2i)(3-2i)}\\ &=\dfrac{3+(-2+3)i-2i^2}{9+(-6+6)i-4i^2}=\dfrac{3+i+2}{9+4}\\ &=\dfrac{5+i}{13}=\boldsymbol{\dfrac{5}{13}{\oplus}\dfrac{1}{13}i} \end{align}

  2. 分母に共役な複素数を分母子にかけて

    \begin{align} &\dfrac{1{\ominus}2i}{2{\ominus}i}=\dfrac{(1-2i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}\\ &=\dfrac{2+(1-4)i-2i^2}{4+(2-2)i-i^2}=\dfrac{2-3i+2}{4+1}\\ &=\dfrac{4-3i}{5}=\boldsymbol{\dfrac{4}{5}{\ominus}\dfrac{3}{5}i} \end{align}

  3. 分母に共役な複素数を分母子にかけて

    \begin{align} &\dfrac{3{\oplus}i}{3{\ominus}i}=\dfrac{(3+i)(3+i)}{(3-i)(3+i)}\\ &=\dfrac{9+(3+3)i+i^2}{9+(3-3)i-i^2}=\dfrac{9+6i-1}{9+1}\\ &=\dfrac{8+6i}{10}=\boldsymbol{\dfrac{4}{5}{\oplus}\dfrac{3}{5}i} \end{align}

  4. 分母に共役な複素数を分母子にかけて

    \begin{align} &\dfrac{\sqrt{2}{\ominus}\sqrt{3}i}{\sqrt{2}{\oplus}\sqrt{3}i}=\dfrac{(\sqrt{2}-\sqrt{3}i)(\sqrt{2}-\sqrt{3}i)}{(\sqrt{2}+\sqrt{3}i)(\sqrt{2}-\sqrt{3}i)}\\ &=\dfrac{2+(-\sqrt{6}-\sqrt{6})i+3i^2}{2+(-\sqrt{6}+\sqrt{6})i-3i^2}\\ &=\dfrac{2-2\sqrt{6}-3}{2+3}\\ &=\dfrac{-1-2\sqrt{6}i}{5}=\boldsymbol{-\dfrac{1}{5}{\ominus}\dfrac{2\sqrt{6}}{5}i} \end{align}