$\oplus$と$+$を同一視する

（注）

複素数$a{\oplus}bi$は，虚部が$0$，すなわち$b = 0$のとき，$a{\oplus}0i$となるが，これを単に$a$と書き，実数$a$のことだと考える． また，実部が$0$，すなわち$a = 0$のとき，$0{\oplus}bi$となるが，これを単に$bi$と書く． 特に，$a = 0$かつ$b\neq0$のとき，$bi$を純虚数(pure imaginary)という.

このように決めると

\[a{\oplus}bi\qquad\] \[=(a+0){\oplus}(0+b)i\] ←$a{\oplus}bi$を２つの複素数の和で書き換えた \[=(a{\oplus}0i)+(0{\oplus}bi)\] ←$a{\oplus}0i$を$a,0{\oplus}bi$を$b$に書き換えた \[=a+bi\qquad\qquad\]

と表せるので，結局$a{\oplus}bi$は$a + bi$と表してかまわない，つまり${\oplus}$と $+$ は混同させてかまわないことになる．

これから以下では，${\oplus}$はすべて + と表記するようにする．${\ominus}$と$ −$ も同様である．

暗記複素数の実数条件と純虚数条件

$\alpha$を複素数とするとき，次のことを証明せよ．

  1. 「$\alpha$が実数である」 $\Longleftrightarrow~\alpha=\overline{\alpha} $

  2. 「$\alpha$が純虚数である」$\Longleftrightarrow~\alpha=-\overline{\alpha}$

  1. $\alpha = a + bi$とおくと，$\overline{\alpha}=a-bi$であるので

    \begin{align} &{\Leftrightarrow~}\alpha=\overline{\alpha}\\ &{\Leftrightarrow~}\alpha-\overline{\alpha}=0 \\ &{\Leftrightarrow~}(a+bi)-(a-bi)=0\\ &{\Leftrightarrow~}(a-a)+(b+b)i=0\\ &{\Leftrightarrow~}0+2bi=0\\ &{\Leftrightarrow~}2b=0\Leftrightarrow b=0 \end{align}

    以上から，$\alpha = a + 0i$つまり$\alpha$は実数である．

  2. $\alpha = a + bi$とおくと，$\overline{\alpha}=a-bi$であるので

    \begin{align} &{\Leftrightarrow~}\alpha=-\overline{\alpha}\\ &{\Leftrightarrow~}\alpha+\overline{\alpha}=0 \\ &{\Leftrightarrow~}(a+bi)+(a-bi)=0\\ &{\Leftrightarrow~}(a+a)+(b-b)i=0\\ &{\Leftrightarrow~}2a+0i=0\\ &{\Leftrightarrow~}2a=0\Leftrightarrow a=0 \end{align}

    以上から，$\alpha = 0 + bi$つまり$\alpha$は純虚数である．

複素数の実数条件と純虚数条件

複素数$\alpha$について，次のことがいえる．

「$\alpha$が実数である」$\Longleftrightarrow~\alpha=\overline{\alpha} $

「$\alpha$が純虚数である」$\Longleftrightarrow~\alpha=-\overline{\alpha} $