複素数の性質

暗記複素数の性質

複素数 $\alpha，\beta$ において

$\alpha\beta=0\Longleftrightarrow~\alpha=0$ または $\beta = 0$

を証明せよ．

複素数の性質の解答

$\Leftarrow$ は明らかなので，以下では $\Rightarrow$ を証明する．

$\alpha = a + bi，\beta = c + di$ とおく．

$\alpha\beta = 0$ の両辺に $\overline{\alpha}$ をかけて

$\begin{align} &\overline{\alpha}\alpha\beta=0\\ \therefore~&(a-bi)(a+bi)(c+di)=0\\ \Leftrightarrow~&(a^2+b^2)(c+di)=0\\ \Leftrightarrow~&(a^2+b^2)c+(a^2+b^2)di=0 \end{align}$

よって

$\begin{cases} (a^2+b^2)c=0\\ (a^2+b^2)d=0 \end{cases}$ (上の式を①，下の式を②とする．)

①となるのは， $a^2 + b^2 = 0$ つまり $a = b = 0$ ，または $c = 0$ のときである．

$a = b = 0$ のときは，②も成立．

$c = 0$ のときは， $d = 0$ であれば②が成立．

以上より，( $a = 0$ かつ $b = 0$ )または( $c = 0$ かつ $d = 0$ )，つまり $\alpha = 0$ または $\beta = 0$ が示せた．

暗記共役な複素数の性質

$\alpha，\beta$ を複素数とするとき，次の等式を証明せよ．

$\overline{\alpha+\beta}=\overline{\alpha}+\overline{\beta}$
$\overline{\alpha-\beta}=\overline{\alpha}-\overline{\beta}$
$\overline{\alpha\beta}=\overline{\alpha}\overline{\beta}$
$\overline{\dfrac{\alpha}{\beta}}=\dfrac{\overline{\alpha}} {\overline{\beta}} （ただし，\beta\neq0）$

共役な複素数の性質の解答

$\alpha = a + bi，\beta = c + di$ とおく．

（左辺）
$\begin{align} &=\overline{(a+bi)+(c+di)}\\ &=\overline{(a+c)+(b+d)i}\\ &=(a+c)-(b+d)i\end{align}$
（右辺）
$\begin{align} &=\overline{a+bi}+\overline{c+di}\\ &=(a-bi)+(c-di)\\ &=(a+c)-(b+d)i \end{align}$
以上より，（左辺） $=$ （右辺）となる．

（左辺）
$\begin{align} &=\overline{(a+bi)-(c+di)}\\ &=\overline{(a-c)+(b-d)i}\\ &=(a-c)-(b-d)i \end{align}$
（右辺）
$\begin{align} &=\overline{a+bi}-\overline{c+di}\\ &=(a-bi)-(c-di)\\ &=(a-c)-(b-d)i \end{align}$
以上より，（左辺） $=$ （右辺）となる．

（左辺）
$\begin{align} &=\overline{(a+bi)(c+di)}\\ &=\overline{ac+(ad+bc)i+bdi^2}\\ &=\overline{(ac-bd)+(ad+bc)i}\\ &=(ac-bd)-(ad+bc)i \end{align}$
（右辺）
$\begin{align} &=\overline{a+bi}~\overline{c+di}\\ &=(a-bi)(c-di)\\ &=ac-(ad+bc)i+bdi^2\\ &=(ac-bd)-(ad+bc)i \end{align}$
以上より，（左辺） $=$ （右辺）となる．

（左辺）
$\begin{align} &=\overline{\left(\dfrac{a+bi}{c+di}\right)}\\ &=\overline{\left(\dfrac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}\right)}\\ &=\overline{\left(\dfrac{ac-(ad-bc)i-bdi^2}{c^2+(-cd+cd)i-d^2i^2}\right)}\\ &=\overline{\left(\dfrac{ac+bd}{c^2+d^2}-\dfrac{ad-bc}{c^2+d^2}\right)}\\ &=\dfrac{ac+bd}{c^2+d^2}+\dfrac{ad-bc}{c^2+d^2}i \end{align}$
（右辺）
$\begin{align} &=\dfrac{\overline{a+bi}}{\overline{c+di}}\\ &=\dfrac{a-bi}{c-di}\\ &=\dfrac{(a-bi)(c+di)}{(c-di)(c+di)}\\ &=\dfrac{ac+(ad-bc)i-bdi^2}{c^2+(cd-cd)i-d^2i^2}\\ &=\dfrac{(ac+bd)+(ad-bc)i}{c^2+d^2}\\ &=\dfrac{ac+bd}{c^2+d^2}+\dfrac{ad-bc}{c^2+d^2}i \end{align}$
以上より，（左辺）=（右辺）となる．