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複素数の性質

暗記複素数の性質

複素数αβにおいて

αβ=0 α=0 またはβ=0

を証明せよ.

は明らかなので,以下ではを証明する.

α=a+biβ=c+diとおく.

αβ=0の両辺に¯αをかけて

¯ααβ=0

よって

\begin{cases} (a^2+b^2)c=0\\ (a^2+b^2)d=0 \end{cases} (上の式を①,下の式を②とする.)

①となるのは,a^2 + b^2 = 0つまりa = b = 0,またはc = 0のときである.

a = b = 0のときは,②も成立.

c = 0のときは,d = 0であれば②が成立.

以上より,(a = 0かつb = 0)または(c = 0かつd = 0),つまり\alpha = 0または\beta = 0が示せた.

暗記共役な複素数の性質

\alpha,\betaを複素数とするとき,次の等式を証明せよ.

  1. \overline{\alpha+\beta}=\overline{\alpha}+\overline{\beta}
  2. \overline{\alpha-\beta}=\overline{\alpha}-\overline{\beta}
  3. \overline{\alpha\beta}=\overline{\alpha}\overline{\beta}
  4. \overline{\dfrac{\alpha}{\beta}}=\dfrac{\overline{\alpha}} {\overline{\beta}} (ただし,\beta\neq0)

    \alpha = a + bi,\beta = c + diとおく.

  1. (左辺)

    \begin{align} &=\overline{(a+bi)+(c+di)}\\ &=\overline{(a+c)+(b+d)i}\\ &=(a+c)-(b+d)i\end{align}

    (右辺)

    \begin{align} &=\overline{a+bi}+\overline{c+di}\\ &=(a-bi)+(c-di)\\ &=(a+c)-(b+d)i \end{align}

    以上より,(左辺)=(右辺)となる.

  2. (左辺)

    \begin{align} &=\overline{(a+bi)-(c+di)}\\ &=\overline{(a-c)+(b-d)i}\\ &=(a-c)-(b-d)i \end{align}

    (右辺)

    \begin{align} &=\overline{a+bi}-\overline{c+di}\\ &=(a-bi)-(c-di)\\ &=(a-c)-(b-d)i \end{align}

    以上より,(左辺)=(右辺)となる.

  3. (左辺)

    \begin{align} &=\overline{(a+bi)(c+di)}\\ &=\overline{ac+(ad+bc)i+bdi^2}\\ &=\overline{(ac-bd)+(ad+bc)i}\\ &=(ac-bd)-(ad+bc)i \end{align}

    (右辺)

    \begin{align} &=\overline{a+bi}~\overline{c+di}\\ &=(a-bi)(c-di)\\ &=ac-(ad+bc)i+bdi^2\\ &=(ac-bd)-(ad+bc)i \end{align}

    以上より,(左辺)=(右辺)となる.

  4. (左辺)

    \begin{align} &=\overline{\left(\dfrac{a+bi}{c+di}\right)}\\ &=\overline{\left(\dfrac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}\right)}\\ &=\overline{\left(\dfrac{ac-(ad-bc)i-bdi^2}{c^2+(-cd+cd)i-d^2i^2}\right)}\\ &=\overline{\left(\dfrac{ac+bd}{c^2+d^2}-\dfrac{ad-bc}{c^2+d^2}\right)}\\ &=\dfrac{ac+bd}{c^2+d^2}+\dfrac{ad-bc}{c^2+d^2}i \end{align}

    (右辺)

    \begin{align} &=\dfrac{\overline{a+bi}}{\overline{c+di}}\\ &=\dfrac{a-bi}{c-di}\\ &=\dfrac{(a-bi)(c+di)}{(c-di)(c+di)}\\ &=\dfrac{ac+(ad-bc)i-bdi^2}{c^2+(cd-cd)i-d^2i^2}\\ &=\dfrac{(ac+bd)+(ad-bc)i}{c^2+d^2}\\ &=\dfrac{ac+bd}{c^2+d^2}+\dfrac{ad-bc}{c^2+d^2}i \end{align}

    以上より,(左辺)=(右辺)となる.