負の数の平方根

数の範囲を，いままでみてきたような複素数にまで拡張すれば，負の数の平方根を求めることができる． 例として， $− 3$の平方根を求めてみよう．

$− 3$の平方根は，方程式$x^2 = − 3$の解である．$ i^2 = − 1$を利用して

\begin{align} &x^2=3i^2\\ \Leftrightarrow~&x^2-3i^2=0\\ \Leftrightarrow~&(x-\sqrt{3}i)(x+\sqrt{3}i)=0\\ \Leftrightarrow~&x=\sqrt{3}i,~-\sqrt{3}i \end{align}

つまり， $− 3$の平方根は$\sqrt{3}i$と$-\sqrt{3}i$である． 一般には次のようにまとめられる．

負の数の平方根

$a > 0$のとき，$ − a$の平方根は，$\sqrt{a}i$と$−\sqrt{a}i$である．

特に， $− 1$の平方根は$i$と$ − i$である．

負の数の平方根

次の数の平方根を求めよ．

  1. $ − 36$
  2. $ − 20$
  3. $ -\dfrac{49}{81}$
  4. $ -\dfrac{5}{12}$

  1. $ \pm\sqrt{36}i=\boldsymbol{\pm6i} $
  2. $ \pm\sqrt{20}i=\boldsymbol{\pm2\sqrt{5}i}$
  3. $ \pm\sqrt{\dfrac{49}{81}}i=\boldsymbol{\pm\dfrac{7}{9}}i$
  4. $ \pm\sqrt{\dfrac{5}{12}}i=\pm\dfrac{\sqrt{5}}{2\sqrt{3}}i=\boldsymbol{\pm\dfrac{\sqrt{15}}{6}i}$

負の数 $− a$の平方根のうち，$\sqrt{a}i$のことを$\sqrt{-a}$と表す．

負の数の平方根の表し方

$a > 0$のとき，$\sqrt{-a}=\sqrt{a}i$とする．

負の数の平方根の計算

次の式を計算せよ．

  1. $ \sqrt{-9}+\sqrt{-1} $
  2. $ \sqrt{-48}-\sqrt{-75}$
  3. $ \sqrt{24}\sqrt{-18}$
  4. $ \sqrt{-2}\sqrt{-8}$
  5. $\dfrac{\sqrt{-15}}{\sqrt{108}}$
  6. $\dfrac{\sqrt{80}}{\sqrt{-10}}$

  1. $ \sqrt{-9}+\sqrt{-1}=3i+i=\boldsymbol{4i}$
  2. $ \sqrt{-48}-\sqrt{-75}=4\sqrt{3}i-5\sqrt{3}i$
    $\qquad\quad\qquad\qquad=\boldsymbol{-\sqrt{3}i} $
  3. $ \sqrt{24}\sqrt{-18}=2\sqrt{6}\times3\sqrt{2}i=\boldsymbol{12\sqrt{3}i} $
  4. $ \sqrt{-2}\sqrt{-8}=\sqrt{2}i\times2\sqrt{2}i=4i^2=\boldsymbol{-4} $
  5. $ \dfrac{\sqrt{-15}}{\sqrt{108}}=\dfrac{\sqrt{15}}{6\sqrt{3}}i =\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{5}}{6}i}$
  6. $ \dfrac{\sqrt{80}}{\sqrt{-10}}=\dfrac{4\sqrt{5}}{\sqrt{10}i} =-\dfrac{4\sqrt{5}}{\sqrt{10}}i=\boldsymbol{-2\sqrt{2}i}$

吹き出し負の数の平方根

この例題の$4.$の計算で

\begin{align} \sqrt{-2}\sqrt{-8}=\sqrt{(-2)\times(-8)}=\sqrt{16}=4 \end{align}

とすると間違いになる． このタイプの間違いを防ぐためには，$\sqrt{-a}$を見たら，まず始めに$\sqrt{a}i$の形に直して計算するとよい．

$a，b$が実数のとき \begin{align} \sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}~~,~~~\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}} \end{align} は一般には成り立たない．このことを，次の例題で確認しておこう．

負の数の根号の計算

次の問いに答えよ．ただし，$a > 0$かつ$b > 0$のとき，$\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$および $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}$が成り立つことは使ってよい．

  1. $ a < 0$かつ$b < 0$のとき，$\sqrt{a}\sqrt{b}\neq\sqrt{ab}$であることを証明せよ．
  2. $ a > 0$かつ$b < 0$のとき，$\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\neq\sqrt{\dfrac{a}{b}}$であることを証明せよ．

  1. (1)$ a < 0$かつ$b < 0$のとき

    （左辺）

    \begin{align} &=\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{-(-a)}\sqrt{-(-b)} \\ &=\sqrt{(-a)}i\sqrt{(-b)}i=\sqrt{(-a)(-b)}i^2 \\ &=-\sqrt{ab} \end{align}

    $\neq$（右辺）

  2. (2) $a > 0$かつ$b < 0$のとき

    （左辺）

    \begin{align} &=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{-(-b)}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{-b}i}\\ &=-\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{-b}}i=-\sqrt{-\dfrac{a}{b}}i\\ &=-\sqrt{-\left(-\dfrac{a}{b}\right)}=-\sqrt{\dfrac{a}{b}} \end{align}

    $\neq$（右辺）