対数関数の性質について

対数関数のグラフで学んできたことをまとめると，次のようになる．対数関数$y = \log_ax$のグラフを見ながら１つ１つ確認しよう．

対数関数の性質

指数関数の性質について，次のようにまとめることができる．

単調な関数であるから，$x$の値と$y$の値は1対1に定まる，すなわち
\begin{align} \log_a{x_1}=\log_a{x_2}\Longleftrightarrow{}x_1=x_2 \end{align}

関数の増加と減少について
1. $a > 1$のとき，単調増加関数である，すなわち
  \[x_1 \lt x_2\Longleftrightarrow{}\log_a{x_1} \lt \log_a{x_2}\]
2. $0 < a < 1$のとき，単調減少関数である，すなわち
  \[x_1 \lt x_2\Longleftrightarrow{}\log_a{x_1} \gt \log_a{x_2}\]

$0 < a < 1$のときは，$x_1$と$x_2$の大小関係と，$\log_ax_1$と$\log_ax_2$の大小関係は逆になることに注意しよう．たとえば，$\log_23 < \log_24$だが，$\log_0.53 > \log_0.54$である．

次の値を小さいものから順に並べよ．

対数関数の性質より

左から順に $\blacktriangleleft$まず底をそろえて大小を比較できるようにする
\begin{align} &\dfrac{1}{2}\log_2\dfrac{1}{3}=\log_2\left(\dfrac{1}{3}\right)^\dfrac{1}{2}=\log_2\dfrac{1}{\sqrt{3}}\\ &-1=\log_2{2^{-1}}=\log_2\dfrac{1}{2} \end{align}
$\log_23^{-1}=\log_2\dfrac{1}{3}$ $\blacktriangleleft$すべて底を$2$でそろえた
$y = \log_2x$は増加関数で，$\dfrac{1}{3}<\dfrac{1}{2}<\dfrac{1}{\sqrt{3}}$だから
\begin{align} &\log_2\dfrac{1}{3}<\log_2\dfrac{1}{2}<\log_2\dfrac{1}{\sqrt{3}}\\ \therefore~&\boldsymbol{\log_23^{-1}<-1<\dfrac{1}{2}\log_2\dfrac{1}{3}} \end{align}

対数関数の性質より

左から順に $\blacktriangleleft$まず底をそろえて大小を比較できるように
\begin{align} &\dfrac{1}{2}=\log_3\left(3\right)^\dfrac{1}{2}=\log_3\sqrt{3}\\ &\dfrac{1}{2}\log_35=\log_35^\dfrac{1}{2}=\log_3\sqrt{5}\end{align}
$-\log_3\dfrac{1}{2}=\log_3\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-1}=\log_32$ $\blacktriangleleft$すべて底を$3$でそろえた
$y = \log_3x$は増加関数で，$\sqrt{3}<2<\sqrt{5}$だから
\begin{align} &\log_3\sqrt{3}<\log_32<\log_3\sqrt{5}\\ \therefore~&\boldsymbol{\dfrac{1}{2}<-\log_3\dfrac{1}{2}<\dfrac{1}{2}\log_35} \end{align}

次の方程式，または不等式を解け．

真数は正であるから$x > 0$が必要．
以下，この条件のもと $\blacktriangleleft$まず真数条件をチェックする
\begin{align} &\log_2x=2\\ \Leftrightarrow~&\log_2x=\log_22^2\\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{x=4} \end{align} $\blacktriangleleft$ $2 = \log_22^2$して底をそろえた
$\blacktriangle$対数関数の性質
真数は正であるから
\[x\gt0\tag{1}\label{taisuuwohukumu1zihouteishiki1zihutoushikisono11}\]
が必要．以下，この条件のもと $\blacktriangleleft$まず真数条件をチェックする
\begin{align} &\log_3x\lt1\\ \Leftrightarrow~&\log_3x\lt\log_33\\ &\quad\blacktriangleleft 1=\log_33として\\ &\qquad底をそろえた\\ \Leftrightarrow~&x\lt3\tag{2}\label{taisuuwohukumu1zihouteishiki1zihutoushikisono12}\\ &\quad\blacktriangleleft \boldsymbol{対数関数の性質} \end{align}
$\eqref{taisuuwohukumu1zihouteishiki1zihutoushikisono11}$，$\eqref{taisuuwohukumu1zihouteishiki1zihutoushikisono12}$を両方満たす$x$ を求めて，$\boldsymbol{0\lt x\lt 3}$となる．

真数は正であるから
\[x\gt0\tag{3}\label{taisuuwohukumu1zihouteishiki1zihutoushikisono13}\]
が必要．以下，この条件のもと $\blacktriangleleft$まず真数条件をチェックする
\begin{align} &\log_{\frac{1}{3}}x\gt1\\ \Leftrightarrow~&\log_{\frac{1}{3}}x\gt\log_{\frac{1}{3}}\dfrac{1}{3}\\ &\quad\blacktriangleleft 1=\log_{\frac{1}{3}}{\dfrac{1}{3}}として\\ &\qquad底をそろえた\\ \Leftrightarrow~&x\lt\dfrac{1}{3}\tag{4}\label{taisuuwohukumu1zihouteishiki1zihutoushikisono14}\\ &\quad\blacktriangleleft \boldsymbol{対数関数の性質} \end{align}
$\eqref{taisuuwohukumu1zihouteishiki1zihutoushikisono13}$，$\eqref{taisuuwohukumu1zihouteishiki1zihutoushikisono14}$を両方満たす$x$ を求めて，$\boldsymbol{0\lt x\lt\dfrac{1}{3}}$となる．

真数は正であるから$x + 1 > 0$つまり
\[x\gt-1\tag{5}\label{taisuuwohukumu1zihouteishiki1zihutoushikisono15}\]
が必要．以下，この条件のもと $\blacktriangleleft$まず真数条件をチェックする
\begin{align} &\log_{\frac{1}{2}}(x+1)\gt3\\ \Leftrightarrow~&\log_{\frac{1}{2}}(x+1)\\ &\qquad\gt\log_{\frac{1}{2}}\left(\dfrac{1}{2}\right)^3\\ &\quad\blacktriangleleft 3=\log_{\frac{1}{2}}\left(\dfrac{1}{2}\right)^3\\ &\qquadとして底をそろえた\\ \Leftrightarrow~&x+1\lt\dfrac{1}{8}\\ &\quad\blacktriangleleft \boldsymbol{対数関数の性質}\\ \Leftrightarrow~&x\lt-\dfrac{7}{8}\tag{6}\label{taisuuwohukumu1zihouteishiki1zihutoushikisono16} \end{align}
$\eqref{taisuuwohukumu1zihouteishiki1zihutoushikisono15}$，$\eqref{taisuuwohukumu1zihouteishiki1zihutoushikisono16}$を両方満たす$x$を求めて，$\boldsymbol{-1\lt x\lt-\dfrac{7}{8}}$となる．

（真数)$ > 0$という条件（真数条件という）は，忘れやすいので気をつけよう．