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簡単な高次方程式

高次方程式P(x)=0を解くことは，一般的には難しいが，因数分解できるときには簡単に解くことができる． たとえば，方程式x3=1では

x3=1⇔ x3−1=0⇔ (x−1)(x2+x+1)=0←a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)⇔ x−1=0 ,  x2+x+1=0⇔ x=1 ,  −1±√3i2

と解を求めることができる．

簡単な高次方程式

次の方程式を複素数の範囲で解け．

  1. x3=27
  2. x3=−8


  1. \begin{align} &x^3=27\\ \Leftrightarrow~&x^3-27=0\\ \Leftrightarrow~&(x-3)(x^2+3x+9)=0\\ \Leftrightarrow~&x-3=0,~x^2-3x+9=0\\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{x=3,~\dfrac{3\pm3\sqrt{3}i}{2}} \end{align}

  2. \begin{align} &x^3=-8\\ \Leftrightarrow~&x^3+8=0\\ \Leftrightarrow~&(x+2)(x^2-2x+4)=0\\ \Leftrightarrow~&x+2=0,~x^2-2x+4=0\\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{x=-2,~1\pm\sqrt{3}i} \end{align}

3乗してa になる数をa の3乗根といい，方程式x^3 = a の解として求めることができる． さきほどの例から，1の3乗根は1,~\dfrac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}である．

暗記1の3乗根\omega

1の3乗根のうち，虚数であるものの1つを\omegaとするとき，次のことを証明せよ．

  1. \omega^3 = 1
  2. \omega^2 + \omega + 1 = 0
  3. 別のもう1つの虚数解は\overline{\omega}であり\omega^2と一致する．

  1. \omegaはx^3 = 1の解であるので明らか．

  2. x^3 = 1を解くと

    \begin{align} &x^3=1\\ \Leftrightarrow~&x^3-1=0\\ \Leftrightarrow~&(x-1)(x^2+x+1)=0\\ \Leftrightarrow~&x-1=0~,~~x^2+x+1=0\\ \Leftrightarrow~&x=1~,~~\dfrac{-1\pm\sqrt{3}i}{2} \end{align}

    このうち，\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}または\dfrac{-1-\sqrt{3}i}{2}が\omegaであるが，これらはどちらも，方程式x^2 + x + 1 = 0の解であるので，\omega^2 + \omega + 1 = 0である．

  3. \dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}と\dfrac{-1-\sqrt{3}i}{2}は共役の関係にあり

    \begin{align} &\left(\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}\right)^2\\ &=\dfrac{1-2\sqrt{3}i-3}{4}\\ &=\dfrac{-1-\sqrt{3}i}{2}\\ &\left(\dfrac{-1-\sqrt{3}i}{2}\right)^2\\ &=\dfrac{1+2\sqrt{3}i-3}{4}\\ &=\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2} \end{align}

    より，\overline{\omega}=\omega^2が成り立つ．

2次方程式に帰着できる高次方程式

次の方程式を複素数の範囲で解け．

  1. x^4-13x^2+9=0
  2. x^4-2x^2-3=0
  3. x^4+x^2-20=0
  4. (x^2+2x)^2+4(x^2+2x)+3=0


  1. \begin{align} &x^4-13x^2+9=0\\ \Leftrightarrow~&x^2=\dfrac{13\pm\sqrt{133}}{2}\\ \Leftrightarrow~&x=\pm\sqrt{\dfrac{13\pm\sqrt{133}}{2}} \end{align}

  2. \begin{align} &x^4-2x^2-3=0\\ \Leftrightarrow~&(x^2+1)(x^2-3)=0\\ \Leftrightarrow~&x^2+1=0,~x^2-3=0\\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{x=\pm{i},~\pm\sqrt{3}} \end{align}

  3. \begin{align} &x^4+x^2-20=0\\ \Leftrightarrow~&(x^2+5)(x^2-4)=0\\ \Leftrightarrow~&x^2+5=0,~x^2-4=0\\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{x=\pm\sqrt{5}{i},~\pm 2} \end{align}

  4. \begin{align} &(x^2+2x)^2+4(x^2+2x)+3=0\\ \Leftrightarrow~&(x^2+2x+1)(x^2+2x+3)=0\\ \Leftrightarrow~&x^2+2x+1=0,~x^2+2x+3=0\\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{x=-1,~-1\pm\sqrt{2}i} \end{align}