簡単な高次方程式

高次方程式$P(x) = 0$を解くことは，一般的には難しいが，因数分解できるときには簡単に解くことができる． たとえば，方程式$x^3 = 1$では

\begin{align} &x^3=1\\ \Leftrightarrow~&x^3-1=0\\ \Leftrightarrow~&(x-1)(x^2+x+1)=0\\ &←a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\\ \Leftrightarrow~&x-1=0~,~~x^2+x+1=0\\ \Leftrightarrow~&x=1~,~~\dfrac{-1\pm\sqrt{3}i}{2} \end{align}

と解を求めることができる．

簡単な高次方程式

次の方程式を複素数の範囲で解け．

  1. $x^3=27$
  2. $x^3=-8$


  1. \begin{align} &x^3=27\\ \Leftrightarrow~&x^3-27=0\\ \Leftrightarrow~&(x-3)(x^2+3x+9)=0\\ \Leftrightarrow~&x-3=0,~x^2-3x+9=0\\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{x=3,~\dfrac{3\pm3\sqrt{3}i}{2}} \end{align}

  2. \begin{align} &x^3=-8\\ \Leftrightarrow~&x^3+8=0\\ \Leftrightarrow~&(x+2)(x^2-2x+4)=0\\ \Leftrightarrow~&x+2=0,~x^2-2x+4=0\\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{x=-2,~1\pm\sqrt{3}i} \end{align}

3乗して$a$ になる数を$a$ の3乗根といい，方程式$x^3 = a$ の解として求めることができる． さきほどの例から，1の3乗根は$1,~\dfrac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}$である．

暗記1の3乗根$\omega$

1の3乗根のうち，虚数であるものの1つを$\omega$とするとき，次のことを証明せよ．

  1. $\omega^3 = 1$
  2. $\omega^2 + \omega + 1 = 0$
  3. 別のもう1つの虚数解は$\overline{\omega}$であり$\omega^2$と一致する．

  1. $\omega$は$x^3 = 1$の解であるので明らか．

  2. $x^3 = 1$を解くと

    \begin{align} &x^3=1\\ \Leftrightarrow~&x^3-1=0\\ \Leftrightarrow~&(x-1)(x^2+x+1)=0\\ \Leftrightarrow~&x-1=0~,~~x^2+x+1=0\\ \Leftrightarrow~&x=1~,~~\dfrac{-1\pm\sqrt{3}i}{2} \end{align}

    このうち，$\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}$または$\dfrac{-1-\sqrt{3}i}{2}$が$\omega$であるが，これらはどちらも，方程式$x^2 + x + 1 = 0$の解であるので，$\omega^2 + \omega + 1 = 0$である．

  3. $\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}と\dfrac{-1-\sqrt{3}i}{2}$は共役の関係にあり

    \begin{align} &\left(\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}\right)^2\\ &=\dfrac{1-2\sqrt{3}i-3}{4}\\ &=\dfrac{-1-\sqrt{3}i}{2}\\ &\left(\dfrac{-1-\sqrt{3}i}{2}\right)^2\\ &=\dfrac{1+2\sqrt{3}i-3}{4}\\ &=\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2} \end{align}

    より，$\overline{\omega}=\omega^2$が成り立つ．

2次方程式に帰着できる高次方程式

次の方程式を複素数の範囲で解け．

  1. $x^4-13x^2+9=0$
  2. $x^4-2x^2-3=0$
  3. $x^4+x^2-20=0$
  4. $(x^2+2x)^2+4(x^2+2x)+3=0$


  1. \begin{align} &x^4-13x^2+9=0\\ \Leftrightarrow~&x^2=\dfrac{13\pm\sqrt{133}}{2}\\ \Leftrightarrow~&x=\pm\sqrt{\dfrac{13\pm\sqrt{133}}{2}} \end{align}

  2. \begin{align} &x^4-2x^2-3=0\\ \Leftrightarrow~&(x^2+1)(x^2-3)=0\\ \Leftrightarrow~&x^2+1=0,~x^2-3=0\\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{x=\pm{i},~\pm\sqrt{3}} \end{align}

  3. \begin{align} &x^4+x^2-20=0\\ \Leftrightarrow~&(x^2+5)(x^2-4)=0\\ \Leftrightarrow~&x^2+5=0,~x^2-4=0\\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{x=\pm\sqrt{5}{i},~\pm 2} \end{align}

  4. \begin{align} &(x^2+2x)^2+4(x^2+2x)+3=0\\ \Leftrightarrow~&(x^2+2x+1)(x^2+2x+3)=0\\ \Leftrightarrow~&x^2+2x+1=0,~x^2+2x+3=0\\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{x=-1,~-1\pm\sqrt{2}i} \end{align}