微分係数の定義

瞬間の速度 で見たように、瞬間速度は平均速度 $\dfrac{\Delta{x}}{\Delta{t}}$ の $\Delta{t}$ を限りなく $0$ に近づけるときの極限値、つまり $\displaystyle\lim_{\Delta{t}\to0}\dfrac{\Delta{x}}{\Delta{t}}$ として与えられた。ここでも $x-t$ グラフに限ることなく、一般の関数 $y=f(x)$ について、この瞬間速度にあたるものを考えてみよう。

微分係数の定義

関数 $f(x)$ において、$\Delta{x}=x-a$、$\Delta{y}=f(x)-f(a)$ とすると、$a$ からある $x$ まで変化するときの平均変化率は $\dfrac{\Delta{y}}{\Delta{x}}=\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ である。

ここで、$x$ を限りなく $a$ に近づけることにより $\Delta{x}=x-a$ は限りなく $0$ に近づき、このときこの平均変化率 $\dfrac{\Delta{y}}{\Delta{x}}$ の値が、ある決まった値に近づくならば、その極限値を関数 $y=f(x)$ の $x=a$ における微分係数 (differential coefficient) といい、$f'(a)$ と表す。つまり \[f'(a)=\displaystyle\lim_{x\to{a}}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\tag{1}\label{bibunkeisunotegi}\] と定義する。