微分係数と接線
微分係数の定義
瞬間の速度 で見たように、瞬間速度は平均速度 $\dfrac{\Delta{x}}{\Delta{t}}$ の $\Delta{t}$ を限りなく $0$ に近づけるときの極限値、つまり $\displaystyle\lim_{\Delta{t}\to0}\dfrac{\Delta{x}}{\Delta{t}}$ として与えられた。ここでも $x-t$ グラフに限ることなく、一般の関数 $y=f(x)$ について、この瞬間速度にあたるものを考えてみよう。
微分係数の定義
関数 $f(x)$ において、$\Delta{x}=x-a$、$\Delta{y}=f(x)-f(a)$ とすると、$a$ からある $x$ まで変化するときの平均変化率は $\dfrac{\Delta{y}}{\Delta{x}}=\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ である。
ここで、$x$ を限りなく $a$ に近づけることにより $\Delta{x}=x-a$ は限りなく $0$ に近づき、このときこの平均変化率 $\dfrac{\Delta{y}}{\Delta{x}}$ の値が、ある決まった値に近づくならば、その極限値を関数 $y=f(x)$ の $x=a$ における微分係数 (differential coefficient) といい、$f'(a)$ と表す。つまり \[f'(a)=\displaystyle\lim_{x\to{a}}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\tag{1}\label{bibunkeisunotegi}\] と定義する。
微分係数の定義の別法
微分係数の定義
また、$\Delta{x}=h$、つまり $x-a=h$ とおくと、$x=a+h$ であるから \begin{align} \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}&=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{a+h-a}\\ &=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} \end{align} であり、$x$ を $a$ に近づけることは $h$ を $0$ に近づけることに等しいから、微分係数 $f'(a)$ は \[f'(a)=\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\] と表すこともできる。
まとめると次のようになる。
微分係数
関数 $y=f(x)$ の $x=a$ における微分係数 $f'(a)$ は \[f'(a)=\displaystyle\lim_{x\to{a}}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\] と定義する。$x=a+h$ とおけば \[f'(a)=\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\] とも書ける。
吹き出し微分係数の定義の別法
この2つの式は、どちらも同じことを表しているが、片方だけに固執せず、問題に応じて臨機応変に使い分けられるようになるのがよい。
定義域から微分係数を求める～その1～
$f(x)=x^2$、$g(x)=x^3$ とするとき、次の値を求めよ。
- $f'(3)$
- $g'(-2)$
- 微分係数 $f'(3)$ の定義より
\begin{align}
&\dfrac{f(x)-f(3)}{x-3}\\
&\blacktriangleleft f'(3)=\displaystyle\lim_{x\to3}\dfrac{f(x)-f(3)}{x-3}\\
=&\dfrac{x^2-3^2}{x-3}\\
=&\dfrac{x^2-9}{x-3}\\
=&\dfrac{(x-3)(x+3)}{x-3}\\
=&x+3\\
&\blacktriangleleft 定義よりx\neq3なので,\\
&{\quad}x-3で約分した\\
&\to6~(x\to3)
\end{align}
よって、$\boldsymbol{f'(3)=6}$。
【別解】
\begin{align} &\dfrac{f(3+h)-f(3)}{h}\\ &\blacktriangleleft f'(3)=\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{f(3+h)-f(3)}{h}\\ =&\dfrac{(3+h)^2-3^2}{h}\\ =&\dfrac{h^2+6h}{h}\\ =&h+6\\ &\blacktriangleleft 定義よりh\neq0なので,~hで約分した\\ &\to6~(h\to0) \end{align} よって、$\boldsymbol{f'(3)=6}$。 - 微分係数 $g'(-2)$ の定義より
\begin{align}
&\dfrac{g(x)-g(-2)}{x-(-2)}\\
&\blacktriangleleft g'(-2)=\displaystyle\lim_{x\to-2}\dfrac{g(x)-g(-2)}{x-(-2)}\\
=&\dfrac{x^3-(-2)^3}{x+2}\\
=&\dfrac{(x+2)(x^2-2x+4)}{x+2}\\
&\blacktriangleleft a^3-b^3\\
&=(a-b)(a^2+ab+b^2)を使った\\
=&x^2-2x+4\\
&\blacktriangleleft 定義よりx\neq-2なので,\\
&{\quad}x+2で約分した\\
&\to12~(x\to-2)
\end{align}
よって、$\boldsymbol{g'(-2)=12}$。
【別解】
\begin{align} &g(-2+h)-g(-2)\\ =&(-2+h)^3-(-2)^3\\ =&12h-6h^2+h^2 \end{align} より \begin{align} \dfrac{g(-2+h)-g(-2)}{h}&=12-6h+h\\ &\to12~(h\to0) \end{align} $\blacktriangleleft$ 定義より $h\neq0$ なので、$h$ で約分した
よって、$\boldsymbol{g'(-2)=12}$。
定義域から微分係数を求める～その2～
$f(x)=2x^2-4x+3$、$g(x)=x^3+2x^2+1$ とするとき、次の値を求めよ。
- $f'(3)$
- $g'(-2)$
- 微分係数 $f'(3)$ の定義より
\begin{align}
&\dfrac{f(x)-f(3)}{x-3}\\
&\blacktriangleleft f'(3)=\displaystyle\lim_{x\to3}\dfrac{f(x)-f(3)}{x-3}\\
=&\dfrac{2x^2-4x+3-(2\cdot3^2-4\cdot3+3)}{x-3}\\
=&\dfrac{2(x^2-3^2)-4(x-3)}{x-3}\\
=&\dfrac{2(x-3)(x+3)-4(x-3)}{x-3}\\
=&2x+2\\
&\blacktriangleleft 定義よりx\neq3なので,\\
&{\quad}x-3で約分した\\
&\to8~(x\to3)
\end{align}
よって、$\boldsymbol{f'(3)=8}$。
【別解】
\begin{align} &\dfrac{f(3+h)-f(3)}{h}\\ &\blacktriangleleft f'(3)=\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{f(3+h)-f(3)}{h}\\ =&\{2(3+h)^2-4(3+h)+3\\ &\qquad-(2\cdot3^2-4\cdot3+3)\}\div{h}\\ =&\dfrac{8h+2h^2}{h}\\ =&8+2h\\ &\blacktriangleleft 定義よりh\neq0なので,~hで約分した\\ &\to8~(h\to0) \end{align} よって、$\boldsymbol{f'(3)=8}$。 - 微分係数 $g'(-2)$ の定義より
\begin{align}
&\dfrac{g(x)-g(-2)}{x-(-2)}\\
&\blacktriangleleft g'(-2)=\displaystyle\lim_{x\to-2}\dfrac{g(x)-g(-2)}{x-(-2)}\\
=&\bigg[x^3+2x^2+1\\
&\qquad-\left\{(-2)^3+2\cdot(-2)^2+1\right\}\bigg]\\
&\qquad\div(x+2)\\
=&\dfrac{(x^3+2^3)+2(x^2-2^2)}{x+2}\\
=&\{(x+2)(x^2-2x+4)\\
&\qquad+2(x+2)(x-2)\}\div(x+2)\\
=&x^2\\
&\blacktriangleleft 定義よりx\neq-2なので,\\
&{\quad}x+2で約分した\\
&\to4~(x\to-2)
\end{align}
よって、$\boldsymbol{g'(-2)=4}$。
【別解】
\begin{align} & g(-2+h)-g(-2)\\ =&(-2+h)^3+2(-2+h)^2+1\\ &\qquad-\left\{(-2)^3+2\cdot(-2)^2+1\right\}\\ =&4h-4h^2+h^3 \end{align} より \begin{align} \dfrac{g(-2+h)-g(-2)}{h}&=4-4h+h^2\\ &\to4~(h\to0) \end{align} $\blacktriangleleft$ 定義より $h\neq0$ なので、$h$ で約分した
よって、$\boldsymbol{g'(-2)=4}$。