微分係数の定義の別法

微分係数の定義

微分係数の定義

また、$\Delta{x}=h$、つまり $x-a=h$ とおくと、$x=a+h$ であるから \begin{align} \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}&=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{a+h-a}\\ &=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} \end{align} であり、$x$ を $a$ に近づけることは $h$ を $0$ に近づけることに等しいから、微分係数 $f'(a)$ は \[f'(a)=\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\] と表すこともできる。

まとめると次のようになる。

微分係数

関数 $y=f(x)$ の $x=a$ における微分係数 $f'(a)$ は \[f'(a)=\displaystyle\lim_{x\to{a}}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\] と定義する。$x=a+h$ とおけば \[f'(a)=\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\] とも書ける。

吹き出し微分係数の定義の別法

この2つの式は、どちらも同じことを表しているが、片方だけに固執せず、問題に応じて臨機応変に使い分けられるようになるのがよい。

定義域から微分係数を求める～その1～

$f(x)=x^2$、$g(x)=x^3$ とするとき、次の値を求めよ。

  1. $f'(3)$
  2. $g'(-2)$

  1. 微分係数 $f'(3)$ の定義より \begin{align} &\dfrac{f(x)-f(3)}{x-3}\\ &\blacktriangleleft f'(3)=\displaystyle\lim_{x\to3}\dfrac{f(x)-f(3)}{x-3}\\ =&\dfrac{x^2-3^2}{x-3}\\ =&\dfrac{x^2-9}{x-3}\\ =&\dfrac{(x-3)(x+3)}{x-3}\\ =&x+3\\ &\blacktriangleleft 定義よりx\neq3なので,\\ &{\quad}x-3で約分した\\ &\to6~(x\to3) \end{align} よって、$\boldsymbol{f'(3)=6}$。
    【別解】
    \begin{align} &\dfrac{f(3+h)-f(3)}{h}\\ &\blacktriangleleft f'(3)=\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{f(3+h)-f(3)}{h}\\ =&\dfrac{(3+h)^2-3^2}{h}\\ =&\dfrac{h^2+6h}{h}\\ =&h+6\\ &\blacktriangleleft 定義よりh\neq0なので,~hで約分した\\ &\to6~(h\to0) \end{align} よって、$\boldsymbol{f'(3)=6}$。
  2. 微分係数 $g'(-2)$ の定義より \begin{align} &\dfrac{g(x)-g(-2)}{x-(-2)}\\ &\blacktriangleleft g'(-2)=\displaystyle\lim_{x\to-2}\dfrac{g(x)-g(-2)}{x-(-2)}\\ =&\dfrac{x^3-(-2)^3}{x+2}\\ =&\dfrac{(x+2)(x^2-2x+4)}{x+2}\\ &\blacktriangleleft a^3-b^3\\ &=(a-b)(a^2+ab+b^2)を使った\\ =&x^2-2x+4\\ &\blacktriangleleft 定義よりx\neq-2なので,\\ &{\quad}x+2で約分した\\ &\to12~(x\to-2) \end{align} よって、$\boldsymbol{g'(-2)=12}$。
    【別解】
    \begin{align} &g(-2+h)-g(-2)\\ =&(-2+h)^3-(-2)^3\\ =&12h-6h^2+h^2 \end{align} より \begin{align} \dfrac{g(-2+h)-g(-2)}{h}&=12-6h+h\\ &\to12~(h\to0) \end{align} $\blacktriangleleft$ 定義より $h\neq0$ なので、$h$ で約分した
    よって、$\boldsymbol{g'(-2)=12}$。

定義域から微分係数を求める～その2～

$f(x)=2x^2-4x+3$、$g(x)=x^3+2x^2+1$ とするとき、次の値を求めよ。

  1. $f'(3)$
  2. $g'(-2)$

  1. 微分係数 $f'(3)$ の定義より \begin{align} &\dfrac{f(x)-f(3)}{x-3}\\ &\blacktriangleleft f'(3)=\displaystyle\lim_{x\to3}\dfrac{f(x)-f(3)}{x-3}\\ =&\dfrac{2x^2-4x+3-(2\cdot3^2-4\cdot3+3)}{x-3}\\ =&\dfrac{2(x^2-3^2)-4(x-3)}{x-3}\\ =&\dfrac{2(x-3)(x+3)-4(x-3)}{x-3}\\ =&2x+2\\ &\blacktriangleleft 定義よりx\neq3なので,\\ &{\quad}x-3で約分した\\ &\to8~(x\to3) \end{align} よって、$\boldsymbol{f'(3)=8}$。
    【別解】
    \begin{align} &\dfrac{f(3+h)-f(3)}{h}\\ &\blacktriangleleft f'(3)=\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{f(3+h)-f(3)}{h}\\ =&\{2(3+h)^2-4(3+h)+3\\ &\qquad-(2\cdot3^2-4\cdot3+3)\}\div{h}\\ =&\dfrac{8h+2h^2}{h}\\ =&8+2h\\ &\blacktriangleleft 定義よりh\neq0なので,~hで約分した\\ &\to8~(h\to0) \end{align} よって、$\boldsymbol{f'(3)=8}$。
  2. 微分係数 $g'(-2)$ の定義より \begin{align} &\dfrac{g(x)-g(-2)}{x-(-2)}\\ &\blacktriangleleft g'(-2)=\displaystyle\lim_{x\to-2}\dfrac{g(x)-g(-2)}{x-(-2)}\\ =&\bigg[x^3+2x^2+1\\ &\qquad-\left\{(-2)^3+2\cdot(-2)^2+1\right\}\bigg]\\ &\qquad\div(x+2)\\ =&\dfrac{(x^3+2^3)+2(x^2-2^2)}{x+2}\\ =&\{(x+2)(x^2-2x+4)\\ &\qquad+2(x+2)(x-2)\}\div(x+2)\\ =&x^2\\ &\blacktriangleleft 定義よりx\neq-2なので,\\ &{\quad}x+2で約分した\\ &\to4~(x\to-2) \end{align} よって、$\boldsymbol{g'(-2)=4}$。
    【別解】
    \begin{align} & g(-2+h)-g(-2)\\ =&(-2+h)^3+2(-2+h)^2+1\\ &\qquad-\left\{(-2)^3+2\cdot(-2)^2+1\right\}\\ =&4h-4h^2+h^3 \end{align} より \begin{align} \dfrac{g(-2+h)-g(-2)}{h}&=4-4h+h^2\\ &\to4~(h\to0) \end{align} $\blacktriangleleft$ 定義より $h\neq0$ なので、$h$ で約分した
    よって、$\boldsymbol{g'(-2)=4}$。