底の変換公式について

ある対数の値は，底の違う別の対数の比で表すことができ

\begin{align} \log_a{b}=\dfrac{\log_c{b}}{\log_c{a}} \end{align}

となる．

この式を使えば，たとえば底が$2$の対数である$\log_23$も，常用対数表をもちいて

\begin{align} \log_23=\dfrac{\log_{10}3}{\log_{10}2}\fallingdotseq\dfrac{0.4771}{0.3010}\fallingdotseq1.585 \end{align}

と計算することができる．

底の変換公式

$a，b，c $は正の数で，$a\neq1，c\neq1$のとき

が成り立つ．特に，$b = c$ のとき，$\log_a{b}=\dfrac{1}{\log_b{a}}$である．

この公式を使うことにより，底の違う対数の和や差も，底をそろえ，計算できるようになる．これについては後の例題でみる．

$a^x = b$が成り立っているとして，$c$を定数とする対数を考えることにより，底の変換公式

を証明せよ．ただし，$a，b，c$は正の数であり，$a\neq1，c\neq1$とする．

3.の証明
$a^x = b$において，$c$を底とする対数を考えると
\begin{align} &\log_c{a^x}=\log_c{b}\\ \Leftrightarrow~&x\log_c{a}=\log_c{b}\\ \Leftrightarrow~&x=\dfrac{\log_c{b}}{\log_c{a}} \end{align} $\blacktriangleleft$ 実数倍に関する対数の性質
いま，$a^x = b$より$\log_ab = x $なので， $\log_a{b}=\dfrac{\log_c{b}}{\log_c{a}}$が成立する．

次の式を簡単にせよ．

式を変形すると
\[\log_9\sqrt{27}\] \[=\log_93^\dfrac{3}{2}\] \[=\dfrac{3}{2}\log_93\] $\blacktriangleleft$実数倍に関する対数の性質
\[=\dfrac{3}{2}\log_99^\dfrac{1}{2}\] $\blacktriangleleft\log_93=x~\Leftrightarrow~9^x=3~\Leftrightarrow~3^{2x}=3$として$x=\dfrac{1}{2}$を求めてもよい \[=\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\boldsymbol{\dfrac{3}{4}}\]

式を変形すると
\[\log_2{6}-\log_49\] \[=\log_26-\dfrac{\log_29}{\log_24}\]
$\blacktriangle$底の変換公式この問いのように対数の底が異なる場合は，まず底をそろえることを考えるとよい
\[=\log_26-\dfrac{1}{2}\log_29\] \[=\log_26-\log_29^\dfrac{1}{2}\] $\blacktriangleleft$実数倍に関する対数の性質 \[=\log_26-\log_23\] \[=\log_2\dfrac{6}{3}\] $\blacktriangleleft$和と差に関する対数の性質 \[=\log_22=\boldsymbol{1}\]

式を変形すると
\[ \log_26-\log_2\sqrt{27}+\log_412\] \[=\log_26-\log_23\sqrt{3}+\dfrac{\log_212}{\log_24}\] $\blacktriangleleft$底の変換公式底を$2$でそろえた
\[=\log_26-\log_23\sqrt{3}+\dfrac{1}{2}\log_212\] \[=\log_26-\log_23\sqrt{3}+\log_212^\dfrac{1}{2}\] $\blacktriangleleft$実数倍に関する対数の性質 \[=\log_26-\log_23\sqrt{3}+\log_22\sqrt{3}\] \[=\log_2\dfrac{6\cdot2\sqrt{3}}{3\sqrt{3}}\] $\blacktriangleleft$和と差に関する対数の性質 \[=\log_22^2=\boldsymbol{2}\]

式を変形すると
\begin{align} &\underbrace{(\log_29+\log_83)}_{底を2でそろえる}~\underbrace{(\log_316+\log_94)}_{底を3でそろえる}\\ &=\left(\log_23^2+\dfrac{\log_23}{\log_22^3}\right)\\ &\qquad\cdot\left(\log_32^4+\dfrac{\log_32^2}{\log_33^2}\right)\\ &\quad\blacktriangleleft \boldsymbol{底の変換公式}参照\\ &=\left(2\log_23+\dfrac{\log_23}{3}\right)\\ &\qquad\cdot\left(4\log_32+\log_32\right)\\ &=\dfrac{7}{3}\log_23\cdot5\log_32\\ &=\dfrac{35}{3}\log_23\cdot\dfrac{1}{\log_23}\\ &\quad\blacktriangleleft \boldsymbol{底の変換公式}参照次の例題も参考\\ &=\boldsymbol{\dfrac{35}{3}} \end{align}

次の問いに答えよ．

1.を利用して
\begin{align} \log_23\cdot\log_35\cdot\log_58\cdot\log_816 \end{align}
を計算せよ．

式を変形すると
\begin{align} &\log_ab\cdot\log_bc\\ =&\log_ab\cdot\dfrac{\log_ac}{\log_ab}\\ =&\log_ac \end{align} $\blacktriangleleft$ 底の変換公式

式を変形すると
\[\log_23\cdot\log_35\cdot\log_58\cdot\log_816\] \[=\log_25\cdot\log_58\cdot\log_816\] $\blacktriangleleft$1.より \[=\log_28\cdot\log_816\] $\blacktriangleleft$1.より \[=\log_216=\boldsymbol{4}\] $\blacktriangleleft$1.より