対数の計算法則

対数の計算に関して、大変興味深いいくつかの計算方法が成り立つ。ここでは、その計算方法について見ていこう。

和と差に関する対数の性質

和と差に関する対数の性質について

常用対数表には，$10$を底とする対数の概算値がまとめてある．この表によれば

\begin{align} &\log_{10}2\fallingdotseq0.3010~,\\ &\log_{10}4\fallingdotseq0.6021~,\\ &\log_{10}8\fallingdotseq0.9031 \end{align}

なので

\begin{align} (\log_{10}8=)~\log_{10}(2\cdot4)=\log_{10}2+\log_{10}4 \end{align}

が成り立っているのがわかる．このような関係が成り立つのは偶然ではなく，一般的には次のようにまとめられる．

和と差に関する対数の性質

$a $は$a > 0，a\neq1$を満たし，$M > 0，N > 0$とするとき

1.$\log_a{MN}=\log_a{M}+\log_a{N} $
1'.$\log_a\dfrac{M}{N}=\log_a{M}-\log_a{N}$

が成り立つ．

たとえば，$\log_218 = \log_23 + \log_26$，$\log_3\dfrac{2}{5} = \log_32 − \log_35$などもいえる．

吹き出し和と差に関する対数の性質について

似ているが，下の式は成立しないので気をつけよう．

\begin{align} &(\times)\log_aM\log_aN=\log_aM+\log_aN~~,\\ &(\times)\dfrac{\log_aM}{\log_aN}=\log_aM-\log_aN \end{align}

暗記和と差に関する対数の性質の証明

実数に拡張された指数法則

1.$a^xa^y=a^{x+y}$
1'.$\dfrac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$

に，$a$を底とする対数を考えることにより，和と差に関する対数の性質

1.$\log_a{MN}=\log_a{M}+\log_a{N}$
1’.$\log_a\dfrac{M}{N}=\log_a{M}-\log_a{N}$

を証明せよ．

和と差に関する対数の性質の証明の解答

1.指数法則$a^xa^y=a^{x+y}$,において，$a$を底とする対数をとると $\blacktriangleleft$指数法則を対数の世界から眺めるため対数をとった
\begin{align} &\log_a{a^xa^y}=\log_aa^{x+y}\\ \Leftrightarrow~&\log_a{a^xa^y}=x+y \end{align} $\blacktriangleleft$対数の定義
ここで，$a^x = M，a^y = N$とおくと，$x = \log_aM，y = \log_aN$なので $\blacktriangleleft$対数の定義
\begin{align} &\log_aMN=\log_aM+\log_aN \end{align}

1' 指数法則$\dfrac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$において，$a$を底とする対数をとると $\blacktriangleleft$指数法則を対数の世界から眺めるため対数をとった
\begin{align} &\log_a\dfrac{a^x}{a^y}=\log_aa^{x-y}\\ \Leftrightarrow~&\log_a\dfrac{a^x}{a^y}=x-y \end{align} $\blacktriangleleft$対数の定義
ここで，$a^x = M，a^y = N$とおくと，$x = \log_aM，y = \log_aN$なので $\blacktriangleleft$対数の定義
\begin{align} &\log_a\dfrac{M}{N}=\log_aM-\log_aN \end{align}

和と差に関する対数の性質の練習

$a = \log_{10}2，b = \log_{10}3$とするとき，次の対数を$a，b$で表せ．

$\log_{10}12$
$\log_{10}5$
$\log_{10}\dfrac{1}{30}$
$\log_{10}225$

和と差に関する対数の性質の練習の解答

\begin{align}\log_{10}12&=\log_{10}(2\cdot2\cdot3)\\ &=\log_{10}2+\log_{10}2+\log_{10}3 \\ &=\boldsymbol{2a+b} \end{align} $\blacktriangleleft$和と差に関する対数の性質

\[\log_{10}5=\log_{10}\dfrac{10}{2}\] \[=\log_{10}10-\log_{10}2\]$\blacktriangleleft$和と差に関する対数の性質
\[=\boldsymbol{1-a}\] $\blacktriangleleft$ $\log_1010 = 1$ である

\[\log_{10}\dfrac{1}{30}=\log_{10}\dfrac{1}{2\cdot3\cdot5}\] \[=\log_{10}1-\log_{10}(2\cdot3\cdot5)\] $\blacktriangleleft$和と差に関する対数の性質
\[=0-\left(\log_{10}2+\log_{10}3+\log_{10}5\right)\] $\blacktriangleleft$和と差に関する対数の性質
\[ =-\left\{a+b+(1-a)\right\}\] $\blacktriangleleft$ 2.より
\[ =\boldsymbol{-1-b}\]

\[\log_{10}225=\log_{10}(5\cdot5\cdot3\cdot3)\] \[=\log_{10}5+\log_{10}5+\log_{10}3+\log_{10}3\], $\blacktriangleleft$和と差に関する対数の性質
\[=(1-a)+(1-a)+b+b\], $\blacktriangleleft$ 2.より
\[=\boldsymbol{2-2a+2b}\]

実数倍に関する対数の性質

実数倍に関する対数の性質について

常用対数表の表によれば

\begin{align} \log_{10}3\fallingdotseq0.4771~,~~\log_{10}9\fallingdotseq0.9542 \end{align}

なので

\begin{align} 2\log_{10}3=\log_{10}3^2~~(=\log_{10}9) \end{align}

が成り立っているのがわかる．このような関係が成り立つのは偶然ではなく，一般的には次のようにまとめられる．

実数倍に関する対数の性質

$a$ は$a > 0，a\neq1$を満たし，$M > 0，r$ は任意の実数のとき

2.$~\log_a{M^r}=r\log_a{M}$

が成り立つ．

吹き出し実数倍に関する対数の性質について

真数にある指数は$\log$の前に飛び出す，と覚えよう．

たとえば，$\log_3{2^3}=3\log_3{2}$，$\log_2\left(\dfrac{3}{5}\right)^4=4\log_2\dfrac{3}{5}$などもいえる．

暗記実数倍に関する対数の性質の証明

実数に拡張された指数法則

2.$~(a^x)^y=a^{xy}$

に，$a$を底とする対数を考えることにより，実数倍に関する対数の性質

2'.$~\log_a{M^r}=r\log_a{M}$

を証明せよ．

実数倍に関する対数の性質の証明の解答

2.指数法則$(a^x)^y = a^{xy}$において，$a$を底とする対数をとると $\blacktriangleleft$指数を法則を対数の世界から眺めるため対数をとった
\begin{align} &\log_a(a^x)^y=\log_aa^{xy}\\ \Leftrightarrow~&\log_a(a^x)^y=xy \end{align} $\blacktriangleleft$対数の定義
ここで，$a^x = M，y = r$とおくと，$x = \log_aM$なので $\blacktriangleleft$対数の定義
\begin{align} &\log_aM^r=r\log_aM \end{align}

対数の計算-その1-

次の式を簡単にせよ．

$\log_{10}{25}+\log_{10}4$
$\log_5{45}+2\log_5\dfrac{5}{3}$
$\log_3{72}-3\log_3{2}$
$\log_2\sqrt{5}-\dfrac{1}{2}\log_2\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{2}\log_2\sqrt[3]{10}$

対数の計算-その1-の解答

式を変形すると \[\log_{10}{25}+\log_{10}4\] \[=\log_{10}(25\times4)\] $\blacktriangleleft$和と差に関する対数の性質 \[=\log_{10}10^2=\boldsymbol{2}\] $\blacktriangleleft$対数の定義
式を変形すると \[\log_5{45}+2\log_5\dfrac{5}{3}\] \[=\log_5{45}+\log_5\left(\dfrac{5}{3}\right)^2\] $\blacktriangleleft$実数倍に関する対数の性質 \[=\log_5{45}+\log_5\dfrac{25}{9}\] \[=\log_5\dfrac{45\times25}{9}\] $\blacktriangleleft$和と差に関する対数の性質 \[=\log_55^3=\boldsymbol{3}\] $\blacktriangleleft$対数の定義
式を変形すると \[\log_3{72}-3\log_3{2}\] \[=\log_3{72}-\log_32^3\] $\blacktriangleleft$実数倍に関する対数の性質 \[=\log_3\dfrac{72}{8}\] $\blacktriangleleft$和と差に関する対数の性質 \[=\log_33^2=\boldsymbol{2}\] $\blacktriangleleft$対数の定義
式を変形すると \[\log_2\sqrt{5}-\dfrac{1}{2}\log_2\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{2}\log_2\sqrt[3]{10}\] \[=\log_25^\frac{1}{2}-\log_2\left(\dfrac{1}{2}\right)^\frac{1}{2}-\log_2{(10^\frac{1}{3})^\frac{3}{2}}\] $\blacktriangleleft$実数倍に関する対数の性質 \[=\log_25^\frac{1}{2}-\log_2\dfrac{1}{2^\frac{1}{2}}-\log_2{10^\frac{1}{2}}\] \[=\log_2\dfrac{5^\frac{1}{2}}{2^\frac{1}{2}\times10^\frac{1}{2}}\] $\blacktriangleleft$和と差に関する対数の性質 \[=\log_2\dfrac{5^\frac{1}{2}}{2^\frac{1}{2}\times2^\frac{1}{2}\times5^\frac{1}{2}}\] \[=\log_22^{-1}=\boldsymbol{-1}\]

底の変換公式

底の変換公式について

ある対数の値は，底の違う別の対数の比で表すことができ

\begin{align} \log_a{b}=\dfrac{\log_c{b}}{\log_c{a}} \end{align}

となる．

この式を使えば，たとえば底が$2$の対数である$\log_23$も，常用対数表をもちいて

\begin{align} \log_23=\dfrac{\log_{10}3}{\log_{10}2}\fallingdotseq\dfrac{0.4771}{0.3010}\fallingdotseq1.585 \end{align}

と計算することができる．

底の変換公式

$a，b，c $は正の数で，$a\neq1，c\neq1$のとき

3.$~\log_a{b}=\dfrac{\log_c{b}}{\log_c{a}}$

が成り立つ．特に，$b = c$ のとき，$\log_a{b}=\dfrac{1}{\log_b{a}}$である．

この公式を使うことにより，底の違う対数の和や差も，底をそろえ，計算できるようになる．これについては後の例題でみる．

暗記底の変換公式の証明

$a^x = b$が成り立っているとして，$c$を定数とする対数を考えることにより，底の変換公式

3.$~\log_a{b}=\dfrac{\log_c{b}}{\log_c{a}}$

を証明せよ．ただし，$a，b，c$は正の数であり，$a\neq1，c\neq1$とする．

底の変換公式の証明の解答

3.の証明
$a^x = b$において，$c$を底とする対数を考えると
\begin{align} &\log_c{a^x}=\log_c{b}\\ \Leftrightarrow~&x\log_c{a}=\log_c{b}\\ \Leftrightarrow~&x=\dfrac{\log_c{b}}{\log_c{a}} \end{align} $\blacktriangleleft$ 実数倍に関する対数の性質
いま，$a^x = b$より$\log_ab = x $なので， $\log_a{b}=\dfrac{\log_c{b}}{\log_c{a}}$が成立する．

対数の証明-その2-

次の式を簡単にせよ．

$\log_9\sqrt{27}$
$\log_2{6}-\log_49 $
$\log_26-\log_2\sqrt{27}+\log_412$
$(\log_29+\log_83)(\log_316+\log_94) $

対数の証明-その2-の解答

式を変形すると
\[\log_9\sqrt{27}\] \[=\log_93^\dfrac{3}{2}\] \[=\dfrac{3}{2}\log_93\] $\blacktriangleleft$実数倍に関する対数の性質
\[=\dfrac{3}{2}\log_99^\dfrac{1}{2}\] $\blacktriangleleft\log_93=x~\Leftrightarrow~9^x=3~\Leftrightarrow~3^{2x}=3$として$x=\dfrac{1}{2}$を求めてもよい \[=\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\boldsymbol{\dfrac{3}{4}}\]

式を変形すると
\[\log_2{6}-\log_49\] \[=\log_26-\dfrac{\log_29}{\log_24}\]
$\blacktriangle$底の変換公式この問いのように対数の底が異なる場合は，まず底をそろえることを考えるとよい
\[=\log_26-\dfrac{1}{2}\log_29\] \[=\log_26-\log_29^\dfrac{1}{2}\] $\blacktriangleleft$実数倍に関する対数の性質 \[=\log_26-\log_23\] \[=\log_2\dfrac{6}{3}\] $\blacktriangleleft$和と差に関する対数の性質 \[=\log_22=\boldsymbol{1}\]

式を変形すると
\[ \log_26-\log_2\sqrt{27}+\log_412\] \[=\log_26-\log_23\sqrt{3}+\dfrac{\log_212}{\log_24}\] $\blacktriangleleft$底の変換公式底を$2$でそろえた
\[=\log_26-\log_23\sqrt{3}+\dfrac{1}{2}\log_212\] \[=\log_26-\log_23\sqrt{3}+\log_212^\dfrac{1}{2}\] $\blacktriangleleft$実数倍に関する対数の性質 \[=\log_26-\log_23\sqrt{3}+\log_22\sqrt{3}\] \[=\log_2\dfrac{6\cdot2\sqrt{3}}{3\sqrt{3}}\] $\blacktriangleleft$和と差に関する対数の性質 \[=\log_22^2=\boldsymbol{2}\]

式を変形すると
\begin{align} &\underbrace{(\log_29+\log_83)}_{底を2でそろえる}~\underbrace{(\log_316+\log_94)}_{底を3でそろえる}\\ &=\left(\log_23^2+\dfrac{\log_23}{\log_22^3}\right)\\ &\qquad\cdot\left(\log_32^4+\dfrac{\log_32^2}{\log_33^2}\right)\\ &\quad\blacktriangleleft \boldsymbol{底の変換公式}参照\\ &=\left(2\log_23+\dfrac{\log_23}{3}\right)\\ &\qquad\cdot\left(4\log_32+\log_32\right)\\ &=\dfrac{7}{3}\log_23\cdot5\log_32\\ &=\dfrac{35}{3}\log_23\cdot\dfrac{1}{\log_23}\\ &\quad\blacktriangleleft \boldsymbol{底の変換公式}参照次の例題も参考\\ &=\boldsymbol{\dfrac{35}{3}} \end{align}

底の変換公式の活用

次の問いに答えよ．

$\log_ab\cdot\log_bc=\log_ac$を証明せよ．
ただし，$a，b，c$は正の数とし，$a\neq1，b\neq1$とする．

1.を利用して
\begin{align} \log_23\cdot\log_35\cdot\log_58\cdot\log_816 \end{align}
を計算せよ．

底の変換公式の活用の解答

式を変形すると
\begin{align} &\log_ab\cdot\log_bc\\ =&\log_ab\cdot\dfrac{\log_ac}{\log_ab}\\ =&\log_ac \end{align} $\blacktriangleleft$ 底の変換公式

式を変形すると
\[\log_23\cdot\log_35\cdot\log_58\cdot\log_816\] \[=\log_25\cdot\log_58\cdot\log_816\] $\blacktriangleleft$1.より \[=\log_28\cdot\log_816\] $\blacktriangleleft$1.より \[=\log_216=\boldsymbol{4}\] $\blacktriangleleft$1.より

対数と指数の関係

対数と指数の関係について

$a^x = M$が成り立つとき，対数の定義より$\log_aM = x$である．この$x = \log_aM$を$a^x = M$に代入することにより

\begin{align} a^{\log_a{M}}=M \end{align}

が成り立つ．

この式が成り立つ理由は次のように考えられる．

まず，$\log_aM$は対数の定義から「$a $は何乗すると$M$になるのか？」という問いの答えであった．そして，その値を実際に$a$ の指数としてもちいるのだから，それが$M$になるのは当然である．

対数と指数の関係

$a$ は$a > 0，a\neq1$を満たし，$M > 0$のとき

4.$~a^{\log_a{M}}=M$

が成り立つ．

対数と指数の関係の利用

次の式を簡単にせよ．

$16^{\log_23}$
$25^{\log_\frac{1}{5}4}$

対数と指数の関係の利用の解答

式を変形すると
\[16^{\log_23}=2^{4\log_23}\] \[ =2^{\log_23^4}\] $\blacktriangleleft$ 実数倍に関する対数の性質 \[=3^4\] $\blacktriangleleft$ 対数と指数の関係 \[=\boldsymbol{81}\]

式を変形すると
\[25^{\log_\frac{1}{5}4}=\left(\dfrac{1}{5}\right)^{-2\log_\frac{1}{5}4}\] \[=\left(\dfrac{1}{5}\right)^{\log_\frac{1}{5}4^{-2}}\] $\blacktriangleleft$ 実数倍に関する対数の性質 \[=4^{-2}\] $\blacktriangleleft$ 対数と指数の関係 \[=\boldsymbol{\dfrac{1}{16}}\]