軌跡とは何か

平面上で，与えられた条件を満たしながら点 $P$ が動くとき，点 $P$ の描く図形を，その条件を満たす点の軌跡 (locus)という．

2点から等距離にある点の軌跡

座標平面上の2点 $A(-1,~4),B(3,~2)$ から等距離にある点 $P$ の軌跡を求めよ．

2点から等距離にある点の軌跡の解答

無題

点 $P$ の座標を $(x,~y)$ とすると，

$AP = BP$ より， $AP^2 = BP^2$ だから

$\begin{align} &(x+1)^2+(y-4)^2\\ &=(x-3)^2+(y-2)^2\\ \Leftrightarrow~&2x-y+1=0 \end{align}$

より，求める軌跡は，直線 $\boldsymbol{2x-y+1=0}$ である．

アポロニウスの円〜その1〜

座標平面上2点 $A(1,~3),B(4,-3)$ からの距離の比が $1:2$ である点 $P$ の軌跡を求めよ．

アポロニウスの円〜その1〜の解答

無題

$AP:BP = 1:2$ つまり， $2AP = BP$ だから，

$4AP^2 = BP^2$

$P(x,~y)$ とすると

$\text{AP}^2=(x-1)^2 +(y-3)^2$ $\tag{1}\label{aporoniusunoensono1nokaitou1}$

←座標平面上の2点間の距離

$\text{BP}^2=(x-4)^2 +(y+3)^2$ $\tag{2}\label{aporoniusunoensono1nokaitou2}$

であるから

$\begin{align} &4\left\{(x-1)^2 +(y-3)^2\right\} \\ &=(x-4)^2 +(y+3)^2\\ \Leftrightarrow~&4(x^2-2x+1) + 4(y^2 -6y+9)\\ &=x^2 -8x+16+y^2 +6y+9\\ \Leftrightarrow~&3x^2 +3y^2 -30y+40-25=0\\ \Leftrightarrow~&x^2 +y^2 -10y +5=0\\ \Leftrightarrow~&x^2 +(y-5)^2=20 \end{align}$

よって，求める軌跡は，

中心 $(0,~5)$ 半径 $2\sqrt{5}$ の円

である．

2点からの距離の比が与えられたときの点の軌跡について，一般に次のことが成り立つ．

アポロニウスの円

2点 $A，B$ からの距離の比が $m:n$ である点 $P$ の軌跡は， $m\neq n$ のとき，線分 $AB$ を $m:n$ に内分する点と外分する点を直径の両端とする円である．この円をアポロニウスの円 (circle of Apollonius)という．

なお， $m=n$ のときは，2つ上の例題でみたように，線分 $AB$ の垂直二等分線となる．

アポロニウスの円〜その2〜

上のアポロニウスの円〜その1〜の例題を，アポロニウスの円の知識を使って解け．

アポロニウスの円〜その2〜の解答

無題

線分 $AB$ を $1:2$ に内分する点 $M$ の座標は

$\begin{align} &\left(\dfrac{1\times2+4\times1}{1+2},~\dfrac{3\times2-3\times1}{1+2}\right)\\ &=(2,~1) \end{align}$

外分する点 $N$ の座標は

$\begin{align} &\left(\dfrac{1\times2+4\times(-1)}{-1+2},~\dfrac{3\times2-3\times(-1)}{-1+2}\right)\\ &=(-2,~9) \end{align}$

軌跡である円の直径となる $MN$ の距離は

$\begin{align} \sqrt{(2+2)^2+(1-9)^2}=\sqrt{80}=4\sqrt{5} \end{align}$

軌跡である円の中心となる $MN$ の中点の座標は

$\begin{align} \left(\dfrac{2-2}{2},~\dfrac{1+9}{2}\right)=(0,~5) \end{align}$

よって，求める軌跡は，

中心 $(0,~5)$ 半径 $2\sqrt{5}$ の円

である．