等式の証明について

等式の証明を考える

恒等式 $A = B$ を証明するには， $A$ か $B$ の一方を変形して，他方を導けばよい．

たとえば

$(x^2+x+1)(x^2-x+1)$

$=x^4+x^2+1$

を証明するには

$\begin{eqnarray} \text{(左辺)}&=&(x^2+x+1)(x^2-x+1)\\ &=&x^4-x^3+x^2+x^3\\ &&-x^2+x+x^2-x+1\\ &=&x^4+x^2+1\\ &=&\text{(右辺) } \end{eqnarray}$

とすればよい．

しかし，問題によっては $A = B$ と同値である

$A = C$ かつ $B = C$
$A − B = 0$

などの等式を証明する方が簡単なときもあるので，適宜使い分ける．

等式の証明〜その1〜

以下の等式を証明せよ．

$(x+y)^2-(x-y)^2=4xy$
$(a^2-b^2)(c^2-d^2)$
$=(ac+bd)^2-(ad+bc)^2$
$(x^3+1)(x^2+x+1)$
$=(x+1)(x^4+x^2+1)$

等式の証明〜その1〜の解答

左辺を展開し整理すると
（左辺）
$\begin{eqnarray} &&=x^2+2xy＋y^2-(x^2-2xy+y^2)\\ &&=4xy= \end{eqnarray}$
(右辺)
となる．
両辺をそれぞれ展開し整理すると
(左辺)
$=a^2c^2-a^2d^2-b^2c^2+b^2d^2$
(右辺)
$\begin{eqnarray} &&=a^2c^2+2abcd+b^2d^2\\ &&\qquad\qquad-(a^2d^2+2abcd+b^2c^2)\\ &&=a^2c^2-a^2d^2-b^2c^2+b^2d^2 \end{eqnarray}$
よって，(左辺) $=$ 右辺)がいえる．
←「 $A = C$ かつ $B = C$ 」ならば「 $A = B$ 」という論法を使った}
左辺を変形して
(左辺)
$\begin{eqnarray} &&=(x+1)(x^2-x+1)(x^2+x+1)\\ &&=(x+1)\{(x^2+1)^2-x^2\}\\ &&=(x+1)(x^4+x^2+1)= \end{eqnarray}$
(右辺)
となる．

等式の証明〜その2〜

以下の等式を証明せよ．

$\dfrac{1}{x+2}+\dfrac{1}{x-2}=\dfrac{2x}{x^2-4}$
$\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}$
$\qquad=\dfrac{1-xy}{(x+1)(y+1)}+1$
$\dfrac{2}{x+2}-\dfrac{1}{x+3}$
$\qquad+\dfrac{x}{(x+2)(x+3)}=\dfrac{2}{x+3}$

等式の証明〜その2〜の解答

左辺を通分して計算していくと
(左辺)
$=\dfrac{x-2}{(x+2)(x-2)}+\dfrac{x+2}{(x+2)(x-2)}$
$=\dfrac{x-2+x+2}{(x+2)(x-2)}=\dfrac{2x}{x^2-4}=$
(右辺)
となる．
両辺をそれぞれ通分して計算していくと
(左辺)
$=\dfrac{y+1}{(x+1)(y+1)}+\dfrac{x+1}{(x+1)(y+1)}$
$=\dfrac{x+y+2}{(x+1)(y+1)}$
(右辺)
$=\dfrac{1-xy}{(x+1)(y+1)}+\dfrac{(x+1)(y+1)}{(x+1)(y+1)}$
$=\dfrac{1-xy+xy+x+y+1}{(x+1)(y+1)}$
$=\dfrac{x+y+2}{(x+1)(y+1)}$
よって，(左辺) $=$ (右辺)がいえる．
左辺を通分して計算していくと
(左辺)
$=\dfrac{2x+6}{(x+2)(x+3)}-\dfrac{x+2}{(x+2)(x+3)}$
$\qquad+\dfrac{x}{(x+2)(x+3)}$
$=\dfrac{2x+4}{(x+2)(x+3)}$
$=\dfrac{2(x+2)}{(x+2)(x+3)}=\dfrac{2}{x+3}=$
(右辺)
となる．

条件つきの等式の証明

等式の中には，恒等式ではないが，ある条件のもとではつねに成り立つ等式がある．

たとえば， $a^2 − 2b^2 = ab$ は恒等式ではない（ $a = b = 1$ を考えてみよ）．しかし， $a + b = 0$ という条件の下では常に成り立つ．これを証明するには，条件 $a + b = 0$ から $b = − a$ が成り立つことを利用して

（左辺） $= a^2 − 2( − a)^2 = − a^2$

（右辺） $= a( − a) = − a^2$

より，（左辺） $=$ （右辺）とすればよい．

一般に，ある条件のもとで成り立つ等式を証明するには，その条件式を証明すべき式に代入すればよい．そのことを次の例題で学んでいこう．

条件つきの等式の証明-その1-

次の等式を証明せよ．

$a + b = 0$ のとき， $ab + a^2 = 0$
$a + b = 0$ のとき， $a^2 − 2b^2 = ab$
$x + y = 1$ のとき，
$\qquad x^2 + y^2 + 1 = 2(x + y − xy)$

条件つきの等式の証明-その1-の解答

左辺を変形すると
　　（左辺） $= a(a + b) = 0$ 　　　　　　　　　 $\blacktriangleleft a+b=0$ を使った
　よって，（左辺） $=$ （右辺）がいえる．
$a + b = 0$ より， $b = − a$ なので
　　（左辺） $=a^2 − 2( − a)^2 = − a^2$ 　　　　　　 $\blacktriangleleft b=-a$ を使った
　　（右辺） $= a( − a) = − a^2$
　よって，（左辺） $=$ （右辺）がいえる．
$x + y = 1$ より， $y = 1 − x$ なので
　　（左辺） $= x^2 + (1 − x)^2 + 1$ 　　　　　　　　 $\blacktriangleleft y=1-x$ を使った
　　　　 $= x^2 + 1 − 2x + x^2 + 1 = 2(x^2 − x + 1)$
　　（右辺） $=2{x + (1 − x) − x(1 − x)}$ 　　　　　　 $\blacktriangleleft y=1-x$ を使った
$= 2(x + 1 − x − x + x^2)$
$= 2(x^2 − x + 1)$
　　よって，（左辺） $=$ （右辺）がいえる．

条件つきの等式の証明-その2-

次の等式を証明せよ．

$xy = 1$ のとき，
$\qquad\left(x+\dfrac{1}{y}\right)\left(y+\dfrac{1}{x}\right)=4$
$x+\dfrac{1}{x}=3$ のとき，
$\qquad x^2+\dfrac{1}{x^2}=7$
$xyz = 1$ のとき，
$\qquad\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx}=x+y+z$

条件つきの等式の証明-その2-の解答

$xy = 1$ より， $x\neq 0$ であるから， $y=\dfrac{1}{x}$ と変形できる．
これを左辺にもちいると
（左辺） $=\left(x+x\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}\right)$
　　　　 $=2x\cdot\dfrac{2}{x}$
　　　　　 $=4=$ （右辺）となる．
$x+\dfrac{1}{x}=3$ を左辺にもちいると
（左辺） $=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2-2\cdot x\cdot \dfrac{1}{x}$ 　　　　　　　 $\blacktriangleleft a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$ という変形を使った
　　　　 $=3^2-2=7$ 　　　　　　　　　　　　 $\blacktriangleleft x+\dfrac{1}{x}=3$ を使った
より，（左辺） $=$ （右辺）である．
$xyz = 1$ より， $z=\dfrac{1}{xy}$ なので
（左辺） $=\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{y\cdot\dfrac{1}{xy}}+\dfrac{1}{\dfrac{1}{xy}\cdot x}$
　　　　 $=\dfrac{1}{xy}+x+y$
　　　　 $=x+y+z=$ （右辺）　　　 $\blacktriangleleft z=\dfrac{1}{xy}$ を使った
となる．

比例式を条件にもつ等式の証明

$a:b = x:y$ の定義は $bx = ay$ である．特に $x，y$ が $0$ でないとき， $\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}$ と変形できる．この $\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}$ のように，比の値が等しいことを示す式を比例式(proportional expression)という．

比例式を条件とする場合には，比の値を $k$ ，すなわち $\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}=k$ などとおき， $a = xk$ かつ $b = yk$ の形で利用すると計算しやすい．

また

$a:b:c=x:y:z$

を， $a，b，c$ の連比(continued ratio)といい， $a:b = x:y$ かつ $b:c = y:z$ かつ $c:a = z:x$ ，すなわち

$bx = ay$ かつ $cy = bz$ かつ $az = cx$

と定義する．こちらの場合も， $x，y，z$ が $0$ でないとき， $\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}=\dfrac{c}{z}$ と変形できる．

比例式を条件にもつ等式の証明

$0$ でない実数 $a,~b,~c,~d,~x,~y,~z$ において，次の等式を証明せよ．

$a:b = c :d$ のとき，
$\qquad\dfrac{a^2+b^2}{c^2+d^2}=\left(\dfrac{b}{d}\right)^2$
$a:b = c :d$ のとき，
$\qquad\dfrac{a^2+c^2}{b^2+d^2}=\dfrac{ac}{bd}$
$a:b:c = x :y :z$ のとき，
$\qquad\dfrac{a^2+b^2+c^2}{x^2+y^2+z^2}=\dfrac{ab+bc+ca}{xy+yz+zx}$

比例式を条件にもつ等式の証明の解答

$a = ck，b = dk$ とおくと　　　　　　　　 $\blacktriangleleft$ 比例式の利用
（左辺） $=\dfrac{c^2k^2+d^2k^2}{c^2+d^2}$ 　　　　 $\blacktriangleleft a = ck，b = dk$ を使った
$=\dfrac{k^2(c^2+d^2)}{c^2+d^2}=k^2$
$=\dfrac{d^2k^2}{d^2}=k^2$
より，（左辺） $=$ （右辺）である．
$a = ck，b = dk$ とおくと　　　　　　　　 $\blacktriangleleft$ 比例式の利用
（左辺）= $\dfrac{c^2k^2+c^2}{d^2k^2+d^2}$ 　　　　　　　　 $\blacktriangleleft a = ck，b = dk$ を使った
$=\dfrac{c^2(k^2+1)}{d^2(k^2+1)}=\dfrac{c^2}{d^2}$
（右辺） $=\dfrac{c^2k}{d^2k}=\dfrac{c^2}{d^2}$ 　　　　　　　　　　　　 $\blacktriangleleft a = ck，b = dk$ を使った
より，（左辺） $=$ （右辺）である．
$a = xk，b = yk，c = zk$ とおくと　　　　　　　 $\blacktriangleleft$ 比例式の利用
（左辺）= $\dfrac{x^2k^2+y^2k^2+z^2k^2}{x^2+y^2+z^2}$ 　　　　 $\blacktriangleleft a = xk，b = yk，c = zk$ を使った
　　 $=\dfrac{k^2(x^2+y^2+z^2)}{x^2+y^2+z^2}=k^2$
（右辺） $=\dfrac{xyk^2+yzk^2+xzk^2}{xy+yz+zx}$ 　　　　 $\blacktriangleleft a = xk，b = yk，c = zk$ を使った
$=\dfrac{k^2(xy+yz+xz)}{xy+yz+zx}=k^2$
より，（左辺） $=$ （右辺）である．