対称式

対称式の定義

次の6つの式

$1) x+y \ \ \ 2) xy \ \ \ 3) x^2+y^2$

$4) \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} \ \ \ 5) 2x^3+3y^2 \ \ \ 6) \dfrac{2}{x}+\dfrac{y}{2}$

において，各式の中の $x$ と $y$ を入れ換えてみると

$1)' x+y \ \ \ 2)' yx \ \ \ 3)' y^2+x^2$

$4)' \dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{x} \ \ \ 5)' 2y^3+3x^2 \ \ \ 6)' \dfrac{2}{y}+\dfrac{x}{2}$

となる．

ここで，式 $1)'～4)'$ はそれぞれ元の式 $1)～4)$ と恒等的に等しく， $5)'$ と $6)'$ はそれぞれ元の $5)$ ， $6)$ と等しくない．

このように，文字を入れ換えても，式が変わるものと変わらないものとがあり，変わらないものを対称式という．

式の中の文字 $x， y$ を入れ換えても，同じ式となる式のことを，その文字に関する対称式(symmetric expression)という．

対称式の中でも特に

\[x+y\] \[xy\]

の2式を，基本対称式(elementary symmetric expression)という．

証明は高校の程度を越えるが，一般に次のことが知られている．

すべての対称式は，基本対称式の和，差，積，商の組合せで表すことができる．

$x + y = A，xy = B$ とするとき，次の各式を $A，B$ を用いて表せ．

$x^3+y^3+x+y$
$=(x+y)^3-3xy(x+y)+(x+y)$
　　　　　　 $\blacktriangleleft x^3 + y^3 = (x + y)^3 − 3xy(x + y)$ を利用した
　 $=\boldsymbol{A^3-3AB+A}$

$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}$
$=\dfrac{y}{xy}+\dfrac{x}{xy}$
　　　　　 $\blacktriangleleft$ 通分した
$=\dfrac{x+y}{xy}$
$=\boldsymbol{\dfrac{A}{B}}$

$\dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{y}$
$=\dfrac{y^2}{xy}+\dfrac{x^2}{xy}$ 　　　　　　 $\blacktriangleleft$ 通分した
$=\dfrac{x^2+y^2}{xy}$ 　　　　　　 $\blacktriangleleft$ (1)が使える形にした $=\boldsymbol{\dfrac{A^2-2B}{B}}$