数直線上の内分点の座標

数直線上の2点$A(x_1)，B(x_2)$に対して，線分$AB$を$m : n$に内分する点$P$の座標$(x)$を求めてみよう．

$AP:PB = m : n$ だから

$$nAP = mPB$$ $\tag{1}\label{suuchokusenjounonaibuntennozahyou}$

ここで，右図より

1)$x_1 < x_2$のとき，$x_1 < x < x_2$だから

$$AP = x − x_1，PB = x_2 – x$$

2)$x_1 > x_2$のとき，$x_1 > x > x_2$だから

$$AP=x_1 − x，PB=x − x_2$$

1)，2)のいずれにせよ，$\eqref{suuchokusenjounonaibuntennozahyou}$は

$n(x-x_1)=m(x_2-x),$

$\Leftrightarrow~(m+n)x=nx_1+mx_2$

$\therefore~x=\dfrac{nx_1 + mx_2}{m+n}$

となる．

吹き出し数直線上の内分点の座標

無題

分子の$nx_1 + mx_2$は，右図のように座標と比を交差して掛けたものを足し合わせたもの，と覚えるとよい．

特に，$P$が中点のとき，$m = n$より，$x=\dfrac{x_1+x_2}{2}$である．