数直線上の内分点の座標

数直線上の2点$A(x_1),B(x_2)$に対して,線分$AB$を$m : n $に内分する点$P$の座標$(x)$を求めてみよう.

$AP:PB = m : n$ だから

\[nAP = mPB\] $\tag{1}\label{suuchokusenjounonaibuntennozahyou}$

ここで,右図より

数直線上の内分点の座標の図その1

1)$x_1 < x_2$のとき,$x_1 < x < x_2$だから

\[AP = x − x_1,PB = x_2 – x\]

2)$x_1 > x_2$のとき,$x_1 > x > x_2$だから

\[AP=x_1 − x,PB=x − x_2\]

1),2)のいずれにせよ,$\eqref{suuchokusenjounonaibuntennozahyou}$は

数直線上の内分点の座標の図その2

$n(x-x_1)=m(x_2-x),$

$\Leftrightarrow~(m+n)x=nx_1+mx_2$

$\therefore~x=\dfrac{nx_1 + mx_2}{m+n}$

となる.

数直線上の内分点

数直線上の2点$A(x_1),B(x_2)$に対し,線分$AB$を$m : n$ に内分する点$P$の座標$(x)$は

\[x=\dfrac{n x_1 + mx_2}{m+n}\]

である.

吹き出し数直線上の内分点の座標

無題

無題

分子の$nx_1 + mx_2$は,右図のように座標と比を交差して掛けたものを足し合わせたもの,と覚えるとよい.

特に,$P$が中点のとき,$m = n$より,$x=\dfrac{x_1+x_2}{2}$である.