数直線上の点

数直線上の2点間の距離

数直線上の2点間の距離

まずは,数直線上の点に関する知識から確認していこう.

\FTEXT 数学Iでも学んだように,数直線上の2点間の距離は次のようになる.

数直線上の2点間の距離

無題

無題

数直線上の2点$A(x_1),B(x_2)$間の距離$AB$は

\[AB=|x_2-x_1|\]

である.

内分・外分とは何か

内分・外分とは何か

線分の分割を表すのに,内分と外分という2つの方法がある.

内分

無題

無題

正の数$m,n$とする. 線分$AB$上の点$P$について

\[AP:PB=m : n\]

が成り立つとき,点$P$は線分$AB$を$m : n $に

内分(interior devision)

するといい, 点$P$のことを内分点という.

外分

無題

無題

無題

無題

正の数$m,n$とする. 線分$AB$の延長上の点$Q$について

\[AQ:QB=m : n\]

が成り立つとき,点$Q$は線分$AB$を$m : n $に

外分(exterior devision)

するといい, 点$Q$のことを外分点という.

右図のように,点$Q$は

  1. $m > n$のときは,線分$AB$の$B$の方向への延長上

  2. $m < n$のときは,線分$AB$の$A$の方向への延長上

にある.

数直線上の内分点の座標

数直線上の2点$A(x_1),B(x_2)$に対して,線分$AB$を$m : n $に内分する点$P$の座標$(x)$を求めてみよう.

$AP:PB = m : n$ だから

\[nAP = mPB\] $\tag{1}\label{suuchokusenjounonaibuntennozahyou}$

ここで,右図より

数直線上の内分点の座標の図その1

1)$x_1 < x_2$のとき,$x_1 < x < x_2$だから

\[AP = x − x_1,PB = x_2 – x\]

2)$x_1 > x_2$のとき,$x_1 > x > x_2$だから

\[AP=x_1 − x,PB=x − x_2\]

1),2)のいずれにせよ,$\eqref{suuchokusenjounonaibuntennozahyou}$は

数直線上の内分点の座標の図その2

$n(x-x_1)=m(x_2-x),$

$\Leftrightarrow~(m+n)x=nx_1+mx_2$

$\therefore~x=\dfrac{nx_1 + mx_2}{m+n}$

となる.

数直線上の内分点

数直線上の2点$A(x_1),B(x_2)$に対し,線分$AB$を$m : n$ に内分する点$P$の座標$(x)$は

\[x=\dfrac{n x_1 + mx_2}{m+n}\]

である.

吹き出し数直線上の内分点の座標

無題

無題

分子の$nx_1 + mx_2$は,右図のように座標と比を交差して掛けたものを足し合わせたもの,と覚えるとよい.

特に,$P$が中点のとき,$m = n$より,$x=\dfrac{x_1+x_2}{2}$である.

数直線上の外分点の座標

数直線上の外分点の座標

暗記数直線上の外分点

数直線上の内分点を参考に, 数直線上の2点$A(x_1),B(x_2)$に対し,線分$AB$を$m : n$ に外分する点$Q$の座標$(x)$は

\[x=\dfrac{-n x_1+mx_2}{m-n}\]

であることを示せ.ただし,$x_1 < x_2$とする.

$AQ:QB = m : n$ だから

\[nAQ = mQB\] $\tag{1}\label{suuchokusenjounogaibunten}$

ここで,右図より

数直線上の外分点の解答の図その1

1)$m > n$のとき,$x_1 < x_1 < x$だから

\[AQ = x − x_1,QB = x − x_2\]

2)$m < n$のとき,$x > x_1 > x_2$だから

\[AQ=x_1 − x,QB=x_2 – x\]

数直線上の外分点の解答の図その2

1),2)のいずれにせよ,$\eqref{suuchokusenjounogaibunten}$は

$n(x-x_1)=m(x-x_2),$

$\Leftrightarrow~(m-n)x=-nx_1+mx_2$

$\therefore~x=\dfrac{-nx_1 + mx_2}{m-n}$

である.

上の例題は$x_1 > x_2$の場合でも同様の結論になるので,次のようにまとめられる.

数直線上の外分点

数直線上の2点$A(x_1),B(x_2)$に対し,線分$AB$を$m : n$に外分する点$Q$の座標$(x)$は

$x=\dfrac{-n x_1+mx_2}{m-n}$

である.

吹き出し数直線上の外分点の座標

$\dfrac{-n x_1+mx_2}{m-n}$は,分母分子に $− 1$を掛けることにより,$\dfrac{n x_1-mx_2}{-m+n}$と表すこともできるので, 外分点の公式は,$m,n$ のうちどちらかにマイナスをつけて

内分点の

公式に代入すると覚えるとよい.