数直線上の点

数直線上の2点間の距離

まずは，数直線上の点に関する知識から確認していこう．

\FTEXT 数学Iでも学んだように，数直線上の2点間の距離は次のようになる.

数直線上の2点間の距離

無題

数直線上の2点 $A(x_1)，B(x_2)$ 間の距離 $AB$ は

$AB=|x_2-x_1|$

である．

内分・外分とは何か

線分の分割を表すのに，内分と外分という2つの方法がある．

内分

無題

正の数 $m，n$ とする．線分 $AB$ 上の点 $P$ について

$AP:PB=m : n$

が成り立つとき，点 $P$ は線分 $AB$ を $m : n$ に

内分（interior devision）

するといい，点 $P$ のことを内分点という．

外分

無題

正の数 $m，n$ とする．線分 $AB$ の延長上の点 $Q$ について

$AQ:QB=m : n$

が成り立つとき，点 $Q$ は線分 $AB$ を $m : n$ に

外分（exterior devision）

するといい，点 $Q$ のことを外分点という．

右図のように，点 $Q$ は

$m > n$ のときは，線分 $AB$ の $B$ の方向への延長上
$m < n$ のときは，線分 $AB$ の $A$ の方向への延長上

にある．

数直線上の内分点の座標

数直線上の2点 $A(x_1)，B(x_2)$ に対して，線分 $AB$ を $m : n$ に内分する点 $P$ の座標 $(x)$ を求めてみよう．

$AP:PB = m : n$ だから

$nAP = mPB$ $\tag{1}\label{suuchokusenjounonaibuntennozahyou}$

ここで，右図より

1) $x_1 < x_2$ のとき， $x_1 < x < x_2$ だから

$AP = x − x_1，PB = x_2 – x$

2) $x_1 > x_2$ のとき， $x_1 > x > x_2$ だから

$AP=x_1 − x，PB=x − x_2$

1)，2)のいずれにせよ， $\eqref{suuchokusenjounonaibuntennozahyou}$ は

$n(x-x_1)=m(x_2-x),$

$\Leftrightarrow~(m+n)x=nx_1+mx_2$

$\therefore~x=\dfrac{nx_1 + mx_2}{m+n}$

となる．

数直線上の内分点

数直線上の2点 $A(x_1)，B(x_2)$ に対し，線分 $AB$ を $m : n$ に内分する点 $P$ の座標 $(x)$ は

$x=\dfrac{n x_1 + mx_2}{m+n}$

である．

吹き出し数直線上の内分点の座標

無題

分子の $nx_1 + mx_2$ は，右図のように座標と比を交差して掛けたものを足し合わせたもの，と覚えるとよい．

特に， $P$ が中点のとき， $m = n$ より， $x=\dfrac{x_1+x_2}{2}$ である．

数直線上の外分点の座標

暗記数直線上の外分点

数直線上の内分点を参考に，数直線上の2点 $A(x_1)，B(x_2)$ に対し，線分 $AB$ を $m : n$ に外分する点 $Q$ の座標 $(x)$ は

$x=\dfrac{-n x_1+mx_2}{m-n}$

であることを示せ．ただし， $x_1 < x_2$ とする．

数直線上の外分点の解答

$AQ:QB = m : n$ だから

$nAQ = mQB$ $\tag{1}\label{suuchokusenjounogaibunten}$

ここで，右図より

1) $m > n$ のとき， $x_1 < x_1 < x$ だから

$AQ = x − x_1，QB = x − x_2$

2) $m < n$ のとき， $x > x_1 > x_2$ だから

$AQ=x_1 − x，QB=x_2 – x$

1)，2)のいずれにせよ， $\eqref{suuchokusenjounogaibunten}$ は

$n(x-x_1)=m(x-x_2),$

$\Leftrightarrow~(m-n)x=-nx_1+mx_2$

$\therefore~x=\dfrac{-nx_1 + mx_2}{m-n}$

である．

上の例題は $x_1 > x_2$ の場合でも同様の結論になるので，次のようにまとめられる．

数直線上の外分点

数直線上の2点 $A(x_1)，B(x_2)$ に対し，線分 $AB$ を $m : n$ に外分する点 $Q$ の座標 $(x)$ は

$x=\dfrac{-n x_1+mx_2}{m-n}$

である．

吹き出し数直線上の外分点の座標

$\dfrac{-n x_1+mx_2}{m-n}$ は，分母分子に $− 1$ を掛けることにより， $\dfrac{n x_1-mx_2}{-m+n}$ と表すこともできるので，外分点の公式は， $m，n$ のうちどちらかにマイナスをつけて

内分点の

公式に代入すると覚えるとよい．