数直線上の点

数直線上の2点間の距離

まずは，数直線上の点に関する知識から確認していこう．

\FTEXT 数学Iでも学んだように，数直線上の2点間の距離は次のようになる.

数直線上の2点間の距離

無題

数直線上の2点$A(x_1)，B(x_2)$間の距離$AB$は

\[AB=|x_2-x_1|\]

である．

内分・外分とは何か

線分の分割を表すのに，内分と外分という2つの方法がある．

内分

無題

正の数$m，n$とする．線分$AB$上の点$P$について

\[AP:PB=m : n\]

が成り立つとき，点$P$は線分$AB$を$m : n $に

内分（interior devision）

するといい，点$P$のことを内分点という．

外分

無題

正の数$m，n$とする．線分$AB$の延長上の点$Q$について

\[AQ:QB=m : n\]

が成り立つとき，点$Q$は線分$AB$を$m : n $に

外分（exterior devision）

するといい，点$Q$のことを外分点という．

右図のように，点$Q$は

$m > n$のときは，線分$AB$の$B$の方向への延長上
$m < n$のときは，線分$AB$の$A$の方向への延長上

にある．

数直線上の内分点の座標

数直線上の2点$A(x_1)，B(x_2)$に対して，線分$AB$を$m : n $に内分する点$P$の座標$(x)$を求めてみよう．

$AP:PB = m : n$ だから

\[nAP = mPB\] $\tag{1}\label{suuchokusenjounonaibuntennozahyou}$

ここで，右図より

1)$x_1 < x_2$のとき，$x_1 < x < x_2$だから

\[AP = x − x_1，PB = x_2 – x\]

2)$x_1 > x_2$のとき，$x_1 > x > x_2$だから

\[AP=x_1 − x，PB=x − x_2\]

1)，2)のいずれにせよ，$\eqref{suuchokusenjounonaibuntennozahyou}$は

$n(x-x_1)=m(x_2-x),$

$\Leftrightarrow~(m+n)x=nx_1+mx_2$

$\therefore~x=\dfrac{nx_1 + mx_2}{m+n}$

となる．

数直線上の内分点

数直線上の2点$A(x_1)，B(x_2)$に対し，線分$AB$を$m : n$ に内分する点$P$の座標$(x)$は

\[x=\dfrac{n x_1 + mx_2}{m+n}\]

である．

吹き出し数直線上の内分点の座標

無題

分子の$nx_1 + mx_2$は，右図のように座標と比を交差して掛けたものを足し合わせたもの，と覚えるとよい．

特に，$P$が中点のとき，$m = n$より，$x=\dfrac{x_1+x_2}{2}$である．

数直線上の外分点の座標

暗記数直線上の外分点

数直線上の内分点を参考に，数直線上の2点$A(x_1)，B(x_2)$に対し，線分$AB$を$m : n$ に外分する点$Q$の座標$(x)$は

\[x=\dfrac{-n x_1+mx_2}{m-n}\]

であることを示せ．ただし，$x_1 < x_2$とする．

数直線上の外分点の解答

$AQ:QB = m : n$ だから

\[nAQ = mQB\] $\tag{1}\label{suuchokusenjounogaibunten}$

ここで，右図より

1)$m > n$のとき，$x_1 < x_1 < x$だから

\[AQ = x − x_1，QB = x − x_2\]

2)$m < n$のとき，$x > x_1 > x_2$だから

\[AQ=x_1 − x，QB=x_2 – x\]

1)，2)のいずれにせよ，$\eqref{suuchokusenjounogaibunten}$は

$n(x-x_1)=m(x-x_2),$

$\Leftrightarrow~(m-n)x=-nx_1+mx_2$

$\therefore~x=\dfrac{-nx_1 + mx_2}{m-n}$

である．

上の例題は$x_1 > x_2$の場合でも同様の結論になるので，次のようにまとめられる．

数直線上の外分点

数直線上の2点$A(x_1)，B(x_2)$に対し，線分$AB$を$m : n$に外分する点$Q$の座標$(x)$は

$x=\dfrac{-n x_1+mx_2}{m-n}$

である．

吹き出し数直線上の外分点の座標

$\dfrac{-n x_1+mx_2}{m-n}$は，分母分子に $− 1$を掛けることにより，$\dfrac{n x_1-mx_2}{-m+n}$と表すこともできるので，外分点の公式は，$m，n$ のうちどちらかにマイナスをつけて

内分点の

公式に代入すると覚えるとよい．