座標平面上の点

1. $AB=\sqrt{(5-1)^2+(6-3)^2}=\boldsymbol{5}$
2. $AB=\sqrt{\{2-(-3)\}^2+\{3-(-5)\}^2}$
   $\qquad=\boldsymbol{\sqrt{89}}$
3. $AB=\sqrt{(-2-6)^2+\{4-(-1)\}^2}$
   $\qquad=\boldsymbol{\sqrt{89}}$

点$A，B，C，M$を右図のように座標平面上で$A(a_1,~a_2)，B(-c,~0)，C(c,~0)，M(0,~0)$とおいても一般性を失わない． 座標平面状の2点間の距離を考えて

同様に

よって，$\text{AB}^2+\text{AC}^2=2(\text{AM}^2 + \text{MB}^2)$が成り立つ．

1. 

   $P$の座標は$\left(\dfrac{1\cdot2+3\cdot3}{3+1},~\dfrac{1\cdot5+3\cdot2}{3+1}\right)$

   $Q$の座標は$\left(\dfrac{3\cdot2+2\cdot3}{2+3},~\dfrac{3\cdot5+2\cdot2}{2+3}\right)$

   $M$の座標は$\left(\dfrac{2+3}{2},~\dfrac{5+2}{2}\right)$なので

   $\boldsymbol{\text{P}\left(\dfrac{11}{4},~\dfrac{11}{4}\right)}$

   $\boldsymbol{\text{Q}\left(\dfrac{12}{5},~\dfrac{19}{5}\right)}$

   $\boldsymbol{\text{M}\left(\dfrac{5}{2},~\dfrac{7}{2}\right)}$

2. 

   $P$の座標は$\left(\dfrac{1\cdot(-2)+3\cdot3}{3+1},~\dfrac{1\cdot3+3\cdot(-1)}{3+1}\right)$

   $Q$の座標は$\left(\dfrac{3\cdot(-2)+2\cdot3}{2+3},~\dfrac{3\cdot3+2\cdot(-1)}{2+3}\right)$

   $M$の座標は$\left(\dfrac{-2+3}{2},~\dfrac{3+(-1)}{2}\right)$なので

   $\boldsymbol{\text{P}\left(\dfrac{7}{4},~0\right)}$

   $\boldsymbol{\text{Q}\left(0,~\dfrac{7}{5}\right)}$

   $\boldsymbol{\text{M}\left(\dfrac{1}{2},~1\right)}$

3. $\boldsymbol{\text{P}\left(\dfrac{9}{4},~-3\right)}$

   $\boldsymbol{\text{Q}\left(\dfrac{6}{5},~-\dfrac{8}{5}\right)}$

   $\boldsymbol{\text{M}\left(\dfrac{3}{2},~-2\right)}$

   $\blacktriangleleft P\left(\dfrac{1\cdot0+3\cdot3}{3+1},~\dfrac{1\cdot0+3\cdot(-4)}{3+1}\right)$

   $Q\left(\dfrac{3\cdot0+2\cdot3}{2+3},~\dfrac{3\cdot0+2\cdot(-4)}{2+3}\right)$

   $M\left(\dfrac{0+3}{2},~\dfrac{0+(-4)}{2}\right)$

無題

右図のように$P'$は線分$A'B'$を$m :n$ に外分する点なので

$x=\dfrac{-nx_1 + mx_2}{m-n}$

であり，$y$ 座標の方も同様にして

$y=\dfrac{-ny_1 + my_2}{m-n}$

である．

点$P$は線分$AB$を$3:( − 1)$に内分した点 $\blacktriangleleft 1$の方が小さいので$1$を$( − 1)$倍

点$Q$は線分$AB$を$( − 2):3$に内分した 点$\blacktriangleleft 2$の方が小さいので$2$を$( − 1)$倍

点$R$は線分$AB$を$4:( − 3)$に内分した 点$\blacktriangleleft 3$の方が小さいので$3$を$( − 1)$倍

と考えて，公式に当てはめればよい．

1. 

   $P$の座標は$\left(\dfrac{(-1)\cdot2+3\cdot3}{3+(-1)},~\dfrac{(-1)\cdot5+3\cdot 2}{3+(-1)}\right)$

   $\blacktriangleleft$次のような図を書いてみよう.

   $Q$の座標は $\left(\dfrac{3\cdot2+(-2)\cdot3}{(-2)+3},~\dfrac{3\cdot5+(-2)\cdot 2}{(-2)+3}\right)$

   $R$の座標は $\left(\dfrac{(-3)\cdot2+4\cdot 3}{4+(-3)},~\dfrac{(-3)\cdot 5+4\cdot 2}{4+(-3)}\right)$

   なので $P\,\boldsymbol{\left(\dfrac{7}{2},~\dfrac12\right)}, Q\,\boldsymbol{\left(0,~11\right)}, R\,\boldsymbol{\left(6,-7\right)}$

2. $P\,\boldsymbol{\left(\dfrac{11}{2},-3\right)}, $
   $Q\,\boldsymbol{\left(-12,~11\right)}, $
   $R\,\boldsymbol{\left(18,-13\right)}$

   $\blacktriangleleft P\left(\dfrac{(-1)\cdot(-2)+3\cdot3}{3+(-1)}\right. ,$
   $\qquad\left.\dfrac{(-1)\cdot3+3\cdot(-1)}{3+(-1)}\right)$

   $Q\left(\dfrac{3\cdot(-2)+(-2)\cdot3}{(-2)+3}\right. ,$
   $\qquad\left.\dfrac{3\cdot3+(-2)\cdot(-1)}{(-2)+3}\right)$

   $R\left(\dfrac{(-3)\cdot(-2)+4\cdot 3}{4+(-3)}\right. ,$
   $\qquad\left.\dfrac{(-3)\cdot 3+4\cdot(-1)}{4+(-3)}\right)$

1. $N$は$BC$の中点なので，$\boldsymbol{\left(\dfrac{x_2 +x_3}{2},~\dfrac{y_2 +y_3}{2}\right)}$ $\blacktriangleleft$ 座標平面上の内分点の座標

2. $G$の座標は

   $\left(\dfrac{x_1 + 2\cdot\dfrac{x_2 +x_3}{2}}{2+1}\right. ,$
   $\qquad\left.\dfrac{y_1 + 2\cdot\dfrac{y_2 +y_3}{2}}{2+1}\right)$ $\blacktriangleleft$ 座標平面上の内分点の座標

である．この$x$ 座標，$y$ 座標をそれぞれ計算して， $\boldsymbol{\left(\dfrac{x_1 +x_2 +x_3}{3},~\dfrac{y_1 +y_2 +y_3}{3}\right)}$が$G$の座標になる．

1. $G(x, y)$とすると

   $x=\dfrac{3 +(-1) +(-3)}{3}=\boldsymbol{-\dfrac{1}{3}}$

   $y=\dfrac{2 +4 +(-5)}{3}=\boldsymbol{\dfrac{1}{3}}$

2. 重心の座標が$(0, 0)$なので

   $\left(\dfrac{1 +b +3}{3},~\dfrac{a +2 +(-3)}{3}\right)=(0,~0)$

   $\Leftrightarrow \begin{cases} &1 +b +3 = 0\\ &a +2 +(-3) = 0 \end{cases}$

   $\therefore~~ \boldsymbol{(a,~b) = (1,-4)}$