数直線上の外分点の座標

暗記数直線上の外分点

数直線上の内分点を参考に，数直線上の2点$A(x_1)，B(x_2)$に対し，線分$AB$を$m : n$ に外分する点$Q$の座標$(x)$は

\[x=\dfrac{-n x_1+mx_2}{m-n}\]

であることを示せ．ただし，$x_1 < x_2$とする．

$AQ:QB = m : n$ だから

\[nAQ = mQB\] $\tag{1}\label{suuchokusenjounogaibunten}$

ここで，右図より

1)$m > n$のとき，$x_1 < x_1 < x$だから

\[AQ = x − x_1，QB = x − x_2\]

2)$m < n$のとき，$x > x_1 > x_2$だから

\[AQ=x_1 − x，QB=x_2 – x\]

1)，2)のいずれにせよ，$\eqref{suuchokusenjounogaibunten}$は

$n(x-x_1)=m(x-x_2),$

$\Leftrightarrow~(m-n)x=-nx_1+mx_2$

$\therefore~x=\dfrac{-nx_1 + mx_2}{m-n}$

である．

上の例題は$x_1 > x_2$の場合でも同様の結論になるので，次のようにまとめられる．

数直線上の2点$A(x_1)，B(x_2)$に対し，線分$AB$を$m : n$に外分する点$Q$の座標$(x)$は

$x=\dfrac{-n x_1+mx_2}{m-n}$

である．

$\dfrac{-n x_1+mx_2}{m-n}$は，分母分子に $− 1$を掛けることにより，$\dfrac{n x_1-mx_2}{-m+n}$と表すこともできるので，外分点の公式は，$m，n$ のうちどちらかにマイナスをつけて

内分点の

公式に代入すると覚えるとよい．