数学II 第2章図形と方程式 — 数直線と座標平面上の点

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この章では座標をもちいて直線や円の性質について学んでいく。まずは準備として、数直線や座標平面上の点について考えていく。

数直線上の点

数直線上の2点間の距離

まずは、数直線上の点に関する知識から確認していこう。

\FTEXT 数学Iでも学んだように、数直線上の2点間の距離は次のようになる.

定理1数直線上の2点間の距離

数直線上の2点 $A(x1), B(x2)$ 間の距離 $AB$ は

$AB=|x2-x1|$

である。

数直線上の2点A(x1)、B(x2)について、x1<x2のときは左にA、右にBがあり距離はx2-x1となる。x2<x1のときは左にB、右にAがあり距離はx1-x2となる。

内分・外分とは何か

線分の分割を表すのに、内分と外分という2つの方法がある。

定義2内分

正の数 $m, n$ とする。線分 $AB$ 上の点 $P$ について

$AP:PB=m : n$

が成り立つとき、点 $P$ は線分 $AB$ を $m : n$ に

内分（interior division）

するといい、点 $P$ のことを内分点という。

線分ABの上に点Pがある。AからPまでの部分とPからBまでの部分のそれぞれの上に、弧で結ばれた丸囲みのmと丸囲みのnが添えられている。

定義3外分

正の数 $m, n$ とする。線分 $AB$ の延長上の点 $Q$ について

$AQ:QB=m : n$

が成り立つとき、点 $Q$ は線分 $AB$ を $m : n$ に

外分（exterior division）

するといい、点 $Q$ のことを外分点という。

次の図のように、点 $Q$ は

$m > n$ のときは、線分 $AB$ の $B$ の方向への延長上
$m < n$ のときは、線分 $AB$ の $A$ の方向への延長上

にある。

ただし、 $m = n$ のときは、 $AQ = QB$ となる点 $Q$ が線分 $AB$ の延長上にないので、外分では $m \neq n$ とする。

「1) m > n のとき」として、直線上に左から点A、点B、点Qが順に並んでいる。AからQまでが丸囲みのm、BからQまでが丸囲みのnという比で示されている。 m < nのときとして、一直線上に左から順に点Q、点A、点Bが並んでいる。線分QAの上に比を表す丸囲みのm、線分QBの下に比を表す丸囲みのnが付けられている。

数直線上の内分点の座標

数直線上の2点 $A(x1), B(x2)$ に対して、線分 $AB$ を $m : n$ に内分する点 $P$ の座標 $(x)$ を求めてみよう。

$AP:PB = m : n$ だから

$nAP = mPB$ $①$

ここで、次の図より

右向きの数直線上に、左から点A(x_1)、点P(x)、点B(x_2)が並んでいる。AP間に丸囲みのm、PB間に丸囲みのnを示す弧が描かれ、上部に「1) x_1 < x_2 のとき」と表示されている。

1) $x1 < x2$ のとき、 $x1 < x < x2$ だから

$AP = x - x1, PB = x2 - x$

2) $x1 > x2$ のとき、 $x1 > x > x2$ だから

$AP=x1 - x, PB=x - x2$

1)、2)のいずれにせよ、 $①$ は

x_2 < x_1 のとき、数直線上に左から点B(x_2)、点P(x)、点A(x_1)が並んでいます。線分BPの上に比n、線分PAの上に比mが示されています。

$n(x-x1)=m(x2-x),$

$\Leftrightarrow (m+n)x=nx1+mx2$

$∴x=(nx1 + mx2)/(m+n)$

となる。

定理4数直線上の内分点

数直線上の2点 $A(x1), B(x2)$ に対し、線分 $AB$ を $m : n$ に内分する点 $P$ の座標 $(x)$ は

$x=(n x1 + mx2)/(m+n)$

である。

数直線上に左から点x_1、x、x_2が並び、x_1からxの区間に丸囲みのm、xからx_2の区間に丸囲みのnが付されている。また、x_1とn、x_2とmを結ぶ交差する直線が描かれている。

数直線上の外分点の座標

暗記1数直線上の外分点

数直線上の内分点を参考に、数直線上の2点 $A(x1), B(x2)$ に対し、線分 $AB$ を $m : n$ に外分する点 $Q$ の座標 $(x)$ は

$x=(-n x1+mx2)/(m-n)$

であることを示せ。ただし、 $x1 < x2$ とする。

解答を見る

$AQ:QB = m : n$ だから

$nAQ = mQB$ $①$

ここで、次の図より

「1) m > n のとき」と添えられ、右向きの数直線上に左から点A(x_1)、点B(x_2)、点Q(x)が並び、Qは線分ABの右外にある。AからQまでの上に丸囲みのm、BからQまでの上に丸囲みのnと比が示されている。

1) $m > n$ のとき、 $x1 < x2 < x$ だから

$AQ = x - x1, QB = x - x2$

2) $m < n$ のとき、 $x < x1 < x2$ だから

$AQ=x1 - x, QB=x2 - x$

「2) m < n のとき」と添えられ、右向きの数直線上に左から点Q(x)、点A(x_1)、点B(x_2)が並び、Qは線分ABの左外にある。QからAまでの上に丸囲みのm、QからBまでの上に丸囲みのnと比が示されている。

1)、2)のいずれにせよ、 $①$ は

$n(x-x1)=m(x-x2),$

$\Leftrightarrow (m-n)x=-nx1+mx2$

$∴x=(-nx1 + mx2)/(m-n)$

である。

上の例題は $x1 > x2$ の場合でも同様の結論になるので、次のようにまとめられる。

定理5数直線上の外分点

数直線上の2点 $A(x1), B(x2)$ に対し、線分 $AB$ を $m : n$ に外分する点 $Q$ の座標 $(x)$ は

$x=(-n x1+mx2)/(m-n)$

である。

座標平面上の点

座標平面上の2点間の距離

座標平面上の2点 $A(x1, y1), B(x2, y2)$ 間の距離 $AB$ について考えよう。

次の図のように点 $C$ をとると

$AC= | x2 - x1 | , BC= | y2 - y1 |$

なので、三平方の定理より

$²=AC²+BC² =(x2-x1)²+(y2-y1)²$

なので、 $AB=\sqrt((x2-x1)²+(y2-y1)²)$ となる。

座標平面上に2点A(x_1, y_1)とB(x_2, y_2)がある。点Aから右へ、点Bから下へ伸ばした破線が交わる点をCとし、∠Cが直角である直角三角形ABCが描かれている。

定理6座標平面上の2点間の距離

座標平面上の2点 $A(x1,y1), B(x2,y2)$ 間の距離は

$AB=\sqrt((x2-x1)²+(y2-y1)²)$

である。

問題12点間の距離

2点 $A, B$ が次の座標にあるとき、2点 $A, B$ の間の距離を求めよ。

$A(1, 3), B(5, 6)$
$A( - 3, - 5), B(2, 3)$
$A(6, - 1), B( - 2, 4)$

解答を見る

$AB=\sqrt((5-1)²+(6-3)²)=5$
$AB=\sqrt({2-(-3)}²+{3-(-5)}²)$ $=\sqrt89$
$AB=\sqrt((-2-6)²+{4-(-1)}²)$ $=\sqrt89$

問題2中線定理の証明

$△ABC$ において、辺 $BC$ の中点を $M$ とする。このとき

$AB² + AC² =2(AM² + MB²)$

であることを、座標平面を用いて示せ。

解答を見る

線分の長さは座標軸のとり方によらないので、直線 $BC$ を $x$ 軸、 $BC$ の中点 $M$ を原点にとり、 $BC = 2c (c > 0)$ とおく。点 $A, B, C, M$ を座標平面上で $A(a1, a2), B(-c, 0), C(c, 0), M(0, 0)$ とおいても一般性を失わない。座標平面上の2点間の距離を考えて

$AB²+AC² =(\sqrt(a1+c)²+a2²)² +(\sqrt(a1-c)²+a2²)² =a1²+2a1c+c²+a2² +a1²-2a1c+c²+a2² =2(a1²+a2²+c²)$

同様に

$2(AM² + MB²) =2{(\sqrta1²+a2²)²+(\sqrtc²)²} =2(a1²+a2²+c²)$

よって、 $AB²+AC²=2(AM² + MB²)$ が成り立つ。

この例題のように、座標を用いて幾何（図形）の証明問題を解くこともできる。このようなアプローチの幾何学を 座標幾何学（coordinate geometry）という

座標平面上の内分点の座標

2点 $A(x1, y 1), B(x2, y 2)$ に対して、線分 $AB$ を $m : n$ に内分する点 $P$ の座標 $(x, y)$ を求めてみよう。

点 $A, P, B$ から $x$ 軸に下ろした垂線の足を、それぞれ $A'(x1), P'(x), B'(x2)$ とする。 $AA' ∥ PP' ∥ BB'$ より、 $A'P' : P'B' = AP : PB = m : n$ である。

次の図のように $P'$ は線分 $A'B'$ を $m : n$ に内分する点なので

$x=(nx1 + mx2)/(m+n)$

であり、 $y$ 座標の方も同様にして

$y=(ny1 + my2)/(m+n)$

である。

座標平面上に線分ABとそれを m 対 n に内分する点Pがあり、各点から座標軸に下ろした点線が引かれている。x軸上の座標 x1, x, x2 による線分の比も m 対 n と示されている。

定理7座標平面上の内分点

座標平面上の2点 $A(x1, y 1), B(x2, y 2)$ に対し、線分 $AB$ を $m : n$ に内分する点 $P$ の座標 $(x, y)$ は

$x=(n x1 + mx2)/(m+n) , y=(n y1 + my2)/(m+n)$

である。

特に、 $P$ が中点のとき、 $m = n$ より、 $x=(x1 +x2)/2, y=(y1 +y2)/2$ である。

問題3座標平面上の内分点

以下の点 $A, B$ について、それぞれ、線分 $AB$ を $3:1$ に内分する点 $P$ 、線分 $AB$ を $2:3$ に内分する点 $Q$ 、線分 $AB$ の中点 $M$ の座標を求めよ。

$A(2, 5), B(3, 2)$
$A( - 2, 3), B(3, - 1)$
$A(0, 0), B(3, - 4)$

解答を見る

$P$ の座標は $((1・2+3・3)/(3+1), (1・5+3・2)/(3+1))$

$Q$ の座標は $((3・2+2・3)/(2+3), (3・5+2・2)/(2+3))$

$M$ の座標は $((2+3)/2, (5+2)/2)$ なので

$P(11/4, 11/4)$

$Q(12/5, 19/5)$

$M(5/2, 7/2)$
$P$ の座標は $((1・(-2)+3・3)/(3+1), (1・3+3・(-1))/(3+1))$

$Q$ の座標は $((3・(-2)+2・3)/(2+3), (3・3+2・(-1))/(2+3))$

$M$ の座標は $((-2+3)/2, (3+(-1))/2)$ なので

$P(7/4, 0)$

$Q(0, 7/5)$

$M(1/2, 1)$
$P(9/4, -3)$

$Q(6/5, -8/5)$

$M(3/2, -2)$

$P((1・0+3・3)/(3+1), (1・0+3・(-4))/(3+1))$

$Q((3・0+2・3)/(2+3), (3・0+2・(-4))/(2+3))$

$M((0+3)/2, (0+(-4))/2)$

座標平面上の外分点の座標

暗記2座標平面上の外分点

座標平面上の内分点を参考に座標平面上の2点 $A(x1,y1), B(x2,y2)$ に対し、線分 $AB$ を $m : n$ に外分する点 $Q$ の座標 $(x,y)$ は

$x=(-n x1 + mx2)/(m-n), y=(-n y1 + my2)/(m-n)$

であることを示せ。

解答を見る

点 $A, B, Q$ から $x$ 軸に下ろした垂線の足を、それぞれ $A', B', Q'$ とする。 $AA' ∥ BB' ∥ QQ'$ より、 $A'Q' : Q'B' = AQ : QB = m : n$ である。

次の図のように $Q'$ は線分 $A'B'$ を $m :n$ に外分する点なので

$x=(-nx1 + mx2)/(m-n)$

であり、 $y$ 座標の方も同様にして

$y=(-ny1 + my2)/(m-n)$

である。

解答を見る

点 $P$ は線分 $AB$ を $3:( - 1)$ に内分した点

点 $Q$ は線分 $AB$ を $( - 2):3$ に内分した点

点 $R$ は線分 $AB$ を $4:( - 3)$ に内分した点

と考えて、公式に当てはめればよい。

$P$ の座標は $(((-1)・2+3・3)/(3+(-1)), ((-1)・5+3・ 2)/(3+(-1)))$

次のような図を書いてみよう.

$Q$ の座標は $((3・2+(-2)・3)/((-2)+3), (3・5+(-2)・ 2)/((-2)+3))$

$R$ の座標は $(((-3)・2+4・ 3)/(4+(-3)), ((-3)・ 5+4・ 2)/(4+(-3)))$

なので $P (7/2, 12), Q (0, 11), R (6,-7)$
$P (11/2,-3),$ $Q (-12, 11),$

$R (18,-13)$

$P(((-1)・(-2)+3・3)/(3+(-1)). ,$

$.((-1)・3+3・(-1))/(3+(-1)))$

$Q((3・(-2)+(-2)・3)/((-2)+3). ,$

$.(3・3+(-2)・(-1))/((-2)+3))$

$R(((-3)・(-2)+4・ 3)/(4+(-3)). ,$

$.((-3)・ 3+4・(-1))/(4+(-3)))$

定理8座標平面上の外分点

座標平面上の2点 $A(x1,y1), B(x2,y2)$ に対し、線分 $AB$ を $m : n$ に外分する点 $Q$ の座標 $(x,y)$ は

$x=(-n x1 + mx2)/(m-n) , y=(-n y1 + my2)/(m-n)$

である。

問題4座標平面上の外分点

以下の点 $A, B$ について、それぞれ、線分 $AB$ を $3:1$ に外分する点 $P$ 、 $2:3$ に外分する点 $Q$ 、 $4:3$ に外分する点 $R$ の座標を求めよ。

$A(2, 5), B(3, 2)$
$A( - 2, 3), B(3, - 1)$

解答を見る

点 $A, B, Q$ から $x$ 軸に下ろした垂線の足を、それぞれ $A', B', Q'$ とする。 $AA' ∥ BB' ∥ QQ'$ より、 $A'Q' : Q'B' = AQ : QB = m : n$ である。

次の図のように $Q'$ は線分 $A'B'$ を $m :n$ に外分する点なので

$x=(-nx1 + mx2)/(m-n)$

であり、 $y$ 座標の方も同様にして

$y=(-ny1 + my2)/(m-n)$

である。

解答を見る

点 $P$ は線分 $AB$ を $3:( - 1)$ に内分した点

点 $Q$ は線分 $AB$ を $( - 2):3$ に内分した点

点 $R$ は線分 $AB$ を $4:( - 3)$ に内分した点

と考えて、公式に当てはめればよい。

$P$ の座標は $(((-1)・2+3・3)/(3+(-1)), ((-1)・5+3・ 2)/(3+(-1)))$

次のような図を書いてみよう.

$Q$ の座標は $((3・2+(-2)・3)/((-2)+3), (3・5+(-2)・ 2)/((-2)+3))$

$R$ の座標は $(((-3)・2+4・ 3)/(4+(-3)), ((-3)・ 5+4・ 2)/(4+(-3)))$

なので $P (7/2, 12), Q (0, 11), R (6,-7)$
$P (11/2,-3),$ $Q (-12, 11),$

$R (18,-13)$

$P(((-1)・(-2)+3・3)/(3+(-1)). ,$

$.((-1)・3+3・(-1))/(3+(-1)))$

$Q((3・(-2)+(-2)・3)/((-2)+3). ,$

$.(3・3+(-2)・(-1))/((-2)+3))$

$R(((-3)・(-2)+4・ 3)/(4+(-3)). ,$

$.((-3)・ 3+4・(-1))/(4+(-3)))$

三角形の重心

どんな三角形でも、各頂点から引いた3本の中線は1点で交わる。この点を三角形の重心（centroid, center of gravity）という。図に示したように、重心は三角形の中線を $2:1$ に内分する。これらは数学Aの図形の性質で学んだ事実である。

以下では、座標平面上のにある三角形の重心の座標を求めてみよう。

△ABCの各頂点から対辺の中点へ引いた3本の中線が1点Gで交わっている。頂点Aからの線分は、点Gによって2対1の比に分けられている。

暗記3平面図形と座標

座標平面上に $A(x1, y1), B(x2,y2), C(x 3, y3)$ があり、 $G$ を $△ABC$ の重心とする。

線分 $BC$ の中点を $N$ とする。 $N$ の座標を求めなさい。
$G$ が線分 $AN$ を $2:1$ に内分する点であることを用い、 $G$ の座標を求めなさい。

解答を見る

$N$ は $BC$ の中点なので、 $((x2 +x3)/2, (y2 +y3)/2)$

$G$ の座標は

$((x1 + 2・(x2 +x3)/2)/(2+1). ,$

$.(y1 + 2・(y2 +y3)/2)/(2+1))$

座標平面上の内分点の座標

である。この $x$ 座標、 $y$ 座標をそれぞれ計算して、 $((x1 +x2 +x3)/3, (y1 +y2 +y3)/3)$ が $G$ の座標になる。

定理9座標平面上の三角形の重心の座標

座標平面上の3点 $A(x1, y1), B(x2,y2), C(x3, y3)$ について、 $△ABC$ の重心 $G$ の座標は

$G((x1 +x2 +x3)/3, (y1 +y2 +y3)/3)$

である。

問題5三角形の重心

$A(3, 2), B( - 1, 4), C( - 3, - 5)$ に対し、 $△ABC$ の重心 $G$ の座標を求めよ。
$A(1, a), B(b, 2), C(3, - 3)$ の重心が原点であるとき、 $a, b$ の値を求めよ。

解答を見る

$G(x, y)$ とすると

$x=(3 +(-1) +(-3))/3=-1/3$

$y=(2 +4 +(-5))/3=1/3$
重心の座標が $(0, 0)$ なので

$((1 +b +3)/3, (a +2 +(-3))/3)=(0, 0)$

$\Leftrightarrow 1 +b +3 = 0 a +2 +(-3) = 0$

$∴(a, b) = (1,-4)$

最終更新: 2026-08-20

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質問の内容

数学II 第2章 図形と方程式 — 数直線と座標平面上の点

数直線上の点

数直線上の2点間の距離

定理1数直線上の2点間の距離

内分・外分とは何か

定義2内分

定義3外分

数直線上の内分点の座標

定理4数直線上の内分点

数直線上の外分点の座標

暗記1数直線上の外分点

定理5数直線上の外分点

座標平面上の点

座標平面上の2点間の距離

定理6座標平面上の2点間の距離

問題12点間の距離

問題2中線定理の証明

座標平面上の内分点の座標

定理7座標平面上の内分点

問題3座標平面上の内分点

座標平面上の外分点の座標

暗記2座標平面上の外分点

定理8座標平面上の外分点

問題4座標平面上の外分点

三角形の重心

暗記3平面図形と座標

定理9座標平面上の三角形の重心の座標

問題5三角形の重心

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