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数直線上の外分点の座標

暗記数直線上の外分点

数直線上の内分点を参考に，数直線上の2点 $A(x_1)，B(x_2)$ に対し，線分 $AB$ を $m : n$ に外分する点 $Q$ の座標 $(x)$ は

$x=\dfrac{-n x_1+mx_2}{m-n}$

であることを示せ．ただし， $x_1 < x_2$ とする．

$AQ:QB = m : n$ だから

$nAQ = mQB$ $\tag{1}\label{suuchokusenjounogaibunten}$

ここで，右図より

1) $m > n$ のとき， $x_1 < x_1 < x$ だから

$AQ = x − x_1，QB = x − x_2$

2) $m < n$ のとき， $x > x_1 > x_2$ だから

$AQ=x_1 − x，QB=x_2 – x$

1)，2)のいずれにせよ， $\eqref{suuchokusenjounogaibunten}$ は

$n(x-x_1)=m(x-x_2),$

$\Leftrightarrow~(m-n)x=-nx_1+mx_2$

$\therefore~x=\dfrac{-nx_1 + mx_2}{m-n}$

である．

上の例題は $x_1 > x_2$ の場合でも同様の結論になるので，次のようにまとめられる．

数直線上の2点 $A(x_1)，B(x_2)$ に対し，線分 $AB$ を $m : n$ に外分する点 $Q$ の座標 $(x)$ は

$x=\dfrac{-n x_1+mx_2}{m-n}$

である．

$\dfrac{-n x_1+mx_2}{m-n}$ は，分母分子に $− 1$ を掛けることにより， $\dfrac{n x_1-mx_2}{-m+n}$ と表すこともできるので，外分点の公式は， $m，n$ のうちどちらかにマイナスをつけて

内分点の

公式に代入すると覚えるとよい．