数直線上の外分点の座標

数直線上の外分点の座標

暗記数直線上の外分点

数直線上の内分点を参考に, 数直線上の2点$A(x_1),B(x_2)$に対し,線分$AB$を$m : n$ に外分する点$Q$の座標$(x)$は

\[x=\dfrac{-n x_1+mx_2}{m-n}\]

であることを示せ.ただし,$x_1 < x_2$とする.

$AQ:QB = m : n$ だから

\[nAQ = mQB\] $\tag{1}\label{suuchokusenjounogaibunten}$

ここで,右図より

数直線上の外分点の解答の図その1

1)$m > n$のとき,$x_1 < x_1 < x$だから

\[AQ = x − x_1,QB = x − x_2\]

2)$m < n$のとき,$x > x_1 > x_2$だから

\[AQ=x_1 − x,QB=x_2 – x\]

数直線上の外分点の解答の図その2

1),2)のいずれにせよ,$\eqref{suuchokusenjounogaibunten}$は

$n(x-x_1)=m(x-x_2),$

$\Leftrightarrow~(m-n)x=-nx_1+mx_2$

$\therefore~x=\dfrac{-nx_1 + mx_2}{m-n}$

である.

上の例題は$x_1 > x_2$の場合でも同様の結論になるので,次のようにまとめられる.

数直線上の外分点

数直線上の2点$A(x_1),B(x_2)$に対し,線分$AB$を$m : n$に外分する点$Q$の座標$(x)$は

$x=\dfrac{-n x_1+mx_2}{m-n}$

である.

吹き出し数直線上の外分点の座標

$\dfrac{-n x_1+mx_2}{m-n}$は,分母分子に $− 1$を掛けることにより,$\dfrac{n x_1-mx_2}{-m+n}$と表すこともできるので, 外分点の公式は,$m,n$ のうちどちらかにマイナスをつけて

内分点の

公式に代入すると覚えるとよい.