増減の例

増減の例

増減の例

具体的な関数の例として、2次関数 $f(x)=-x^2+4x$ としてを考えてみよう。$y=f(x)$ のグラフは \begin{align} y&=-x^2+4x\\ &=-(x-2)^2+4 \end{align} であるから、頂点の座標は $(2,~4)$ とわかり、右図のようになる。

この図から

  1. $x\lt2$ のときは、$f(x)$ は増加
  2. $x\gt2$ のときは、$f(x)$ は減少
ということがわかるが、このことは、$f(x)$ の導関数 \[f'(x)=-2x+4\] を用いて、次のように理解することもできる。
  1. $-2x+4\gt0$ つまり、$x\lt2$ のとき「$f'(x)\gt0$ となるので」、$f(x)$ は増加している。
  2. $-2x+4\lt0$ つまり、$x\gt2$ のとき「$f'(x)\lt0$ となるので」、$f(x)$ は減少している。

$f'(x)$ の符号と関数の増加・減少の関係

関数 $f(x)$ の値の増減は、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を用いて

  1. $f'(x)\gt0$ となる $x$ の値の範囲では、$y$ の値は増加する
  2. $f'(x)\lt0$ となる $x$ の値の範囲では、$y$ の値は減少する
と判断できる。

吹き出し増減の例

これから先扱おうとしている関数は、2次関数のように簡単に増加・減少のわかるものではない。そのため、この導関数 $f'(x)$ の正・負から、関数の増加・減少を判断できるようにしておかなければならない。