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増減の例

増減の例

増減の例

具体的な関数の例として、2次関数 f(x)=−x2+4x としてを考えてみよう。y=f(x) のグラフは y=−x2+4x=−(x−2)2+4 であるから、頂点の座標は (2, 4) とわかり、右図のようになる。

この図から

  1. x<2 のときは、f(x) は増加
  2. x>2 のときは、f(x) は減少
ということがわかるが、このことは、f(x) の導関数 f′(x)=−2x+4 を用いて、次のように理解することもできる。
  1. −2x+4>0 つまり、x<2 のとき「f′(x)>0 となるので」、f(x) は増加している。
  2. −2x+4<0 つまり、x>2 のとき「f′(x)<0 となるので」、f(x) は減少している。

f′(x) の符号と関数の増加・減少の関係

関数 f(x) の値の増減は、f(x) の導関数 f′(x) を用いて

  1. f′(x)>0 となる x の値の範囲では、y の値は増加する
  2. f′(x)<0 となる x の値の範囲では、y の値は減少する
と判断できる。

吹き出し増減の例

これから先扱おうとしている関数は、2次関数のように簡単に増加・減少のわかるものではない。そのため、この導関数 f′(x) の正・負から、関数の増加・減少を判断できるようにしておかなければならない。