剰余の定理

（注）

多項式$f(x)$の$x$に数$a$を代入したときの$f(x)$の値を$f(a)$と書く ．

たとえば，$f(x) = x^3 + 2x^2 + 3x + 1$とすると

\begin{align} &f(1)=1^3+2\cdot2^2+3\cdot1+1=7\\ &f(0)=0^3+2\cdot0^2+3\cdot0+1=1\\ &f(2)=2^3+2\cdot2^2+3\cdot2+1=23 \end{align}

である．

剰余の定理のための補題

$f(x) = x^4 − 3x^2 + 5x – 8$とする．

  1. $f(x)$を$x – 2$で割ったときの余りを求めよ．
  2. $ f(2)$の値を計算せよ．

無題

無題

  1. 割り算を実行すると

    \begin{align} f(x)=(x-2)(x^3+2x^2+x+7)+6 \end{align}　　　　$\blacktriangleleft$組立除法を使うなら図

    となるので，余りは$\boldsymbol{6}$である．

  2. $ f(2)=2^4-3\cdot2^2+5\cdot2-8=\boldsymbol{6} $

上の例題では，$f(x)$を$x – 2$で割ったときの余りと，$f(2)$の値が等しくなっているが， これは，偶然に一致したわけではなく，次の理由による．

多項式$f(x)$を1次式$x – a$で割ったときの商を$Q(x)$，余りを$r$とすると，$r$は定数であり

\begin{align} f(x)=(x-a)Q(x)+r \end{align}

が成り立つ．この式に$x = a$を代入すると

\begin{align} f(a)=(a-a)Q(a)+r=r \end{align}

となり，$f(a)$が$f(x)$を$x – a$で割ったときの余り$r$と等しいことがわかる．

剰余の定理

多項式$f(x)$を$x – a$で割ったときの余りは$f(a)$である．

剰余の定理の確認問題

次の式の組について，左側の式を右側の式で割ったときの余りだけ求めよ（商は求めなくてよい）．

  1. $x^2+2x+1，x-1 $
  2. $x^3+3，x+1$
  3. $ x^3-4x^2-2x+5，x-2 $
  4. $x^3-2x^2-x+6，x-3 $

  1. 剰余の定理より，$f(1)=\boldsymbol{4}$

  2. 剰余の定理より，$f(-1)=\boldsymbol{2}$

  3. 剰余の定理より，$f(2)=\boldsymbol{-7} $

  4. 剰余の定理より，$f(3)=\boldsymbol{12}$

吹き出し剰余の定理

余りを求めるだけならば剰余の定理が大変な威力を発揮する．

暗記剰余の定理の拡張

多項式$f(x)$を1次式$ax + b$で割ったときの余りは$f\left(-\dfrac{b}{a}\right)$であることを証明せよ．

$f(x)$を1次式$ax + b$で割ったときの商を$Q(x)$，余りを$r$とすると，$r$は定数であり，次の関係式が成り立つ．

\begin{align} f(x)=(ax+b)Q(x)+r \end{align}

この式の$x$に$-\dfrac{b}{a}$を代入すると

\begin{align} &f\left(-\dfrac{b}{a}\right) \\ =&\left\{a\cdot\left(-\dfrac{b}{a}\right)+b\right\}Q\left(-\dfrac{b}{a}\right)+r\\ =&(-b+b)Q\left(-\dfrac{b}{a}\right)+r\\ =&r \end{align}

となり，$f\left(-\dfrac{b}{a}\right)$と余り$r$が等しいことが分かる．

剰余の定理の拡張

多項式$f(x)$を1次式$ax + b$で割ったときの余りは$f\left(-\dfrac{b}{a}\right)$となる．

剰余の定理の利用

次の各問に答えよ．

  1. 多項式$f(x)$を$x – 1$で割ると$2$余り，$x – 2$で割ると$3$余る．$ f(x)$を$(x − 1)(x − 2)$で割ったときの余りを求めよ．

  2. 多項式$f(x)$を$x – 1$で割ると$3$余り，$(x − 2)(x − 3)$で割ると$3x – 2$余る． $f(x)$を$(x − 1)(x − 2)(x − 3)$で割ったときの余りを求めよ．

  3. 多項式$f(x)$を$x – 1$で割ると$2$余り，$(x − 2)^2$で割ると$3x – 2$余る．$ f(x)$を$(x − 1)(x − 2)^2$で割ったときの余りを求めよ.

  1. 【解1：除法の式を変形して解く】

    $f(x)$を$x – 1$で割ったときの商を$Q_1(x)$とすると，余りが$2$だから

    \begin{align} f(x)=(x-1)Q_1(x)+2 \end{align}　　　　　　　$\blacktriangleleft$多項式の除法の一意性より

    とおける．さらに，$Q_1(x)$を$x – 2$で割ったときの商を$Q_2(x)$，余りを$a$とすると

    \begin{align} f(x) &=(x-1)\left\{Q_2(x)(x-2)+a\right\}+2 \\ &=(x-1)(x-2)Q_2(x)\\ &\qquad\qquad\qquad+ax+2-a \end{align}　　　　　　　$\blacktriangleleft Q_1(x) = Q_2(x)(x − 2) + a$である

    ここで，剰余の定理より

    \begin{align} &f(2)=2a+2-a=3 \\ \therefore~ &a=1 \end{align}　　　　　　　$\blacktriangleleft f(2) = 3$を使った

    となる．よって，求める余りは$\boldsymbol{x+1}$である．

    【解2：余りの多項式をおく】$ f(x)$を$(x − 1)(x − 2)$で割ったときの，商を$Q_3(x)$，余りを$ax + b$とすると

    \begin{align} f(x)=(x-1)(x-2)Q_3(x)+ax+b \end{align}　　　　　　　$\blacktriangleleft$多項式の除法の一意性より

    である．ここで，剰余の定理より

    $\left(f(1)=\right)a+b=2　　　　\blacktriangleleft f(1) = 2$を使った

    $\left(f(2)=\right)2a+b=3　　　\blacktriangleleft f(2) = 3$を使った

    これを解くと$a = 1，b = 1$であるから，求める余りは$\boldsymbol{x+1}$である．

  2. 【解1：除法の式を変形して解く】

    $f(x)$を$(x − 2)(x − 3)$で割ったときの商を$Q_1(x)$とすると，余りが$3x – 2$だから

    \begin{align} f(x)=(x-2)(x-3)Q_1(x)+3x-2 \end{align}　　　　　　　$\blacktriangleleft$多項式の除法の一意性より

    とおける．さらに，$Q_1(x)$を$x – 1$で割ったときの商を$Q_2(x)$，余りを$a$とすると

    \begin{align} f(x) &=(x-2)(x-3)\left\{Q_2(x)(x-1)\right.\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \left. +a\right\}\\ &\qquad+3x-2 \\ &=(x-1)(x-2)(x-3)Q_2(x)\\ &\qquad+a(x-2)(x-3)+3x-2 \end{align}　　　　　　　$\blacktriangleleft Q_1(x) = Q_2(x)(x − 1) + a$である.

    である．ここで，剰余の定理より

    \begin{align} &f(1)=a(-1)(-2)+3-2=3 \\ \therefore~ &a=1 \end{align}　　　　　　　$\blacktriangleleft f(1) = 3$を使った

    となる．よって，求める余りは$(x-2)(x-3)+3x-2=\boldsymbol{x^2-2x+4}$である．

    【解2:余りの多項式をおく】$ f(x)$を$(x − 1)(x − 2)(x − 3)$で割ったときの，商を$Q_3(x)$，余りを$ax^2 + bx + c$とすると

    \begin{align} &f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)Q_4(x)\\ &\qquad+ax^2+bx+c \end{align}　　　　　　　$\blacktriangleleft$多項式の除法の一意性より

    ここで，剰余の定理より$f(1) = 3，f(2) = 4，f(3) = 7$なので

    $\left(f(1)=\right)a+b+c=3　　　\blacktriangleleft f(1) = 3$を使った

    $\left(f(2)=\right)4a+2b+c=4　　\blacktriangleleft f(2) = 4$を使った

    $\left(f(3)=\right)9a+3b+c=7　　\blacktriangleleft f(3) = 7$を使った

    これを解くと$a = 1，b = − 2，c = 4$であるから，求める余りは$\boldsymbol{x^2-2x+4}$である．

  3. 【解1：除法の式を変形して解く】

    $f(x)$を$(x − 2)^2$で割ったときの商を$Q_1(x)$とすると，余りが$3x – 2$だから

    \begin{align} f(x)=(x-2)^2Q_1(x)+3x-2 \end{align}　　　　　　　$\blacktriangleleft$多項式の除法の一意性より

    とおける．さらに，$Q_1(x)$を$x – 1$で割ったときの商を$Q_2(x)$，余りを$a$とおくと，

    \begin{align} f(x) &=(x-2)^2\left\{Q_2(x)(x-1)+a\right\}\\ &\qquad+3x-2 \\ &=(x-1)(x-2)^2Q_2(x)\\ &\qquad\qquad+a(x-2)^2+3x-2 \end{align}　　　　　　　$\blacktriangleleft Q_1(x) = Q_2(x)(x − 1) + a$である

    ここで，剰余の定理より

    \begin{align} &f(1)=a(-1)^2+3-2=2 \\ \therefore~ &a=1 \end{align}　　　　　　　$\blacktriangleleft f(1) = 2$を使った

    であるから，求める余りは$(x-2)^2+3x-2=\boldsymbol{x^2-x+2}$である．

    【解2：余りの多項式をおく（微分法を使う）】

    $f(x)$を$(x − 2)^2$で割ったときの商を$Q_1(x)$とすると，余りが$3x – 2$だから

    \begin{align} f(x)=(x-2)^2Q_1(x)+3x-2 \end{align}　　　　　　　$\blacktriangleleft$多項式の除法の一意性より

    とおける．この式を$x$で微分すると

    \begin{align} &f'(x) \\ =&(x-2)Q_1(x)+(x-2)^2{Q_1}'(x)+3 \\ =&(x-2)\left\{Q_1(x)+(x-2){Q_1}'(x)\right\}+3 \end{align}　　　　　　　$\blacktriangleleft$微分の計算法則の関数の積の微分法を使った

    $Q_1(x) + (x − 2)Q_1'(x)$は多項式なので，これを$Q_2(x)$とおくと

    $f'(x)=(x-2)Q_2(x)+3$

    $\therefore~ f'(2)=3$

    $\tag{1}\label{zyouyonoteirinoriyou}$

    いま，$f(x)$を$(x − 1)(x − 2)^2$でわったときの商を$Q_3(x)$，余りを$ax^2 + bx + c$とおくと，

    $f(x)=(x-1)(x-2)^2Q_3(x)$
    $+ax^2+bx+c$

    $f'(x)=((x-2)$を因数に持つ多項式$)+2ax+b$

    であるから

    \begin{align} f'(2)=4a+b=3 \end{align}　　　　　　　$\blacktriangleleft\eqref{zyouyonoteirinoriyou}$を使った

    さらに，剰余の定理より

    $f(1)=a+b+c=2 \blacktriangleleft f(1) = 2$を使った

    $f(2)=4a+2b+c=4 \blacktriangleleft f(2) = 4$を使った

    これを解くと$a = 1，b = − 1，c = 2$であるから，求める余りは$\boldsymbol{x^2-x+2}$である．