指数の利用

指数で数を表すことの利点

地球と太陽の距離は約1億5000万kmであるが，これを10進法で表すと

\begin{align} 150000000~[\text{km}] \end{align}

となる．しかし，このように表すと一見何桁の数なのかわからず不便である．

このように大きな数を表すには，$10$を底とする指数を用いて

\begin{align} 1.5\times10^8~\text{km} \end{align}

とするとよい．このように表すことによって，$10^8$の部分を見ればこの数が$9$桁であることをすぐに読み取れる．また，計算する上でも便利になる．指数で数を表すことについて，一般に次のことがいえる．

$x\geqq1$を満たす$x$は，整数部分が$1$桁の数$a~(1\leqq{a}<10)$と，負でない整数$n$を使って

\begin{align} a\times10^n \end{align}

という形ただ$1$通りに表すことができ，このときこの数は最高位が$n+1$桁の数である．

また，赤血球の直径は$1\text{m}$の約1万2500分の1であるが，これを$10$進法で表すと

\begin{align} \dfrac{1}{125000}=0.000008~[\text{m}] \end{align}

となり，これも一見小数第何位に$0$でない数があるのかわかりづらい．

このような$0$に近い数を表すときにも，$10$を底とする指数を用いて

\begin{align} 8\times10^{-6} \end{align}

と表せば，$10 ^{− 6}$の部分をみることによって，この数が小数第$6$位にはじめて$0$でない数があらわれることがすぐに読み取れる．こちらの場合もまとめると次のようになる．

$0 < x < 1$を満たす$x$は，整数部分が$1$桁の数$a~(1\leqq{a}<10)$と，負の整数$n$を使って

\begin{align} a\times10^n \end{align}

という形でただ1通りに表すことができ，このとき小数第$n$位にはじめて$0$でない数があらわれる．

次の問いに答えよ．

地球から月までの距離は約$380000~[\text{km}]$である．これを，$a\times10^{n}~[\text{km}]$の形で表せ．ただし，$1\leqq{a}<10,n$は整数とする．

地球から太陽までの距離は約$150000000~[\text{km}]$である．このことと1.を利用して，地球から太陽までの距離は，地球から月までの距離の約何倍か求めよ．

水素原子の質量は約$0.0000000000000000000000017~[\text{g}]$である．これを，$a\times10^{n}~[\text{g}]$の形で表せ．ただし，$1\leqq{a}<10,n$は整数とする．

炭素原子の質量は約$0.000000000000000000000020~[\text{g}]$である．このことと3.を利用して，炭素原子の質量は，水素原子の質量の約何倍か求めよ．

$150000000=1.5\times10^{8}$であるから
\begin{align} \dfrac{1.5\times10^8}{3.8\times10^5}=\dfrac{1.5}{3.8}\times10^3=394.7\cdots \end{align}
より，約$\boldsymbol{395}$倍．

$0.000000000000000000000020$
$=2.0\times10^{-23}$であるから
\begin{align} \dfrac{2.0\times10^{-23}}{1.7\times10^{-24}}=\dfrac{2.0}{1.7}\times10=11.76\cdots \end{align}
より，約$\boldsymbol{11.8}$倍．