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三角形の重心

無題

どんな三角形でも，各頂点から引いた3本の中線は1点で交わる．この点を三角形の重心（centroid, center of gravity）という．図に示したように，重心は三角形の中線を $2:1$ に内分する．

以下では，座標平面上のにある三角形の重心の座標を求めてみよう．

暗記平面図形と座標

座標平面上に $A(x_1, y_1)，B(x_2,y_2)，C(x _3, y_3)$ があり， $G$ を $\vartriangle ABC$ の重心とする．

線分 $BC$ の中点を $N$ とする． $N$ の座標を求めなさい．
$G$ が線分 $AN$ を $2:1$ に内分する点であることを用い， $G$ の座標を求めなさい．

平面図形と座標の解答

$N$ は $BC$ の中点なので， $\boldsymbol{\left(\dfrac{x_2 +x_3}{2},~\dfrac{y_2 +y_3}{2}\right)}$ $\blacktriangleleft$ 座標平面上の内分点の座標
$G$ の座標は
$\left(\dfrac{x_1 + 2\cdot\dfrac{x_2 +x_3}{2}}{2+1}\right. ,$
$\qquad\left.\dfrac{y_1 + 2\cdot\dfrac{y_2 +y_3}{2}}{2+1}\right)$ $\blacktriangleleft$ 座標平面上の内分点の座標

である．この $x$ 座標， $y$ 座標をそれぞれ計算して， $\boldsymbol{\left(\dfrac{x_1 +x_2 +x_3}{3},~\dfrac{y_1 +y_2 +y_3}{3}\right)}$ が $G$ の座標になる．

座標平面上の三角形の重心の座標

座標平面上の3点 $A(x_1, y_1)，B(x_2,y_2)，C(x_3, y_3)$ について， $\vartriangle ABC$ の重心 $G$ の座標は

$G\left(\dfrac{x_1 +x_2 +x_3}{3},~\dfrac{y_1 +y_2 +y_3}{3}\right)$

である．

吹き出し三角形の重心

三角形の重心の座標は三角形の3頂点の座標の平均だと覚えるとよい．

三角形の重心

$A(3, 2)，B( − 1, 4)，C( − 3, − 5)$ に対し， $\vartriangle ABC$ の重心 $G$ の座標を求めよ．
$A(1, a)，B(b, 2)，C(3, − 3)$ の重心が原点であるとき， $a, b$ の値を求めよ．

三角形の重心の解答

$G(x, y)$ とすると
$x=\dfrac{3 +(-1) +(-3)}{3}=\boldsymbol{-\dfrac{1}{3}}$
$y=\dfrac{2 +4 +(-5)}{3}=\boldsymbol{\dfrac{1}{3}}$
重心の座標が $(0, 0)$ なので
$\left(\dfrac{1 +b +3}{3},~\dfrac{a +2 +(-3)}{3}\right)=(0,~0)$
$\Leftrightarrow \begin{cases} &1 +b +3 = 0\\ &a +2 +(-3) = 0 \end{cases}$
$\therefore~~ \boldsymbol{(a,~b) = (1,-4)}$