三角形の重心

無題

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どんな三角形でも，各頂点から引いた3本の中線は1点で交わる． この点を三角形の重心（centroid, center of gravity）という． 図に示したように，重心は三角形の中線を$2:1$に内分する．

以下では，座標平面上のにある三角形の重心の座標を求めてみよう．

暗記平面図形と座標

座標平面上に$A(x_1, y_1)，B(x_2,y_2)，C(x _3, y_3)$があり，$G$を$\vartriangle ABC$の重心とする．

  1. 線分$BC$の中点を$N$とする．$N$の座標を求めなさい．

  2. $G$が線分$AN$を$2:1$に内分する点であることを用い，$G$の座標を求めなさい．

  1. $N$は$BC$の中点なので，$\boldsymbol{\left(\dfrac{x_2 +x_3}{2},~\dfrac{y_2 +y_3}{2}\right)}$ $\blacktriangleleft$ 座標平面上の内分点の座標

  2. $G$の座標は

    $\left(\dfrac{x_1 + 2\cdot\dfrac{x_2 +x_3}{2}}{2+1}\right. ,$
    $\qquad\left.\dfrac{y_1 + 2\cdot\dfrac{y_2 +y_3}{2}}{2+1}\right)$ $\blacktriangleleft$ 座標平面上の内分点の座標

である．この$x$ 座標，$y$ 座標をそれぞれ計算して， $\boldsymbol{\left(\dfrac{x_1 +x_2 +x_3}{3},~\dfrac{y_1 +y_2 +y_3}{3}\right)}$が$G$の座標になる．

座標平面上の三角形の重心の座標

座標平面上の3点$A(x_1, y_1)，B(x_2,y_2)，C(x_3, y_3)$について， $\vartriangle ABC$の重心$G$の座標は

$G\left(\dfrac{x_1 +x_2 +x_3}{3},~\dfrac{y_1 +y_2 +y_3}{3}\right)$

である．

吹き出し三角形の重心

三角形の重心の座標は三角形の3頂点の座標の平均だと覚えるとよい．

三角形の重心

  1. $A(3, 2)，B( − 1, 4)，C( − 3, − 5)$に対し，$\vartriangle ABC$の重心$G$の座標を求めよ．

  2. $A(1, a)，B(b, 2)，C(3, − 3)$の重心が原点であるとき，$a, b$の値を求めよ．

  1. $G(x, y)$とすると

    $x=\dfrac{3 +(-1) +(-3)}{3}=\boldsymbol{-\dfrac{1}{3}}$

    $y=\dfrac{2 +4 +(-5)}{3}=\boldsymbol{\dfrac{1}{3}}$

  2. 重心の座標が$(0, 0)$なので

    $\left(\dfrac{1 +b +3}{3},~\dfrac{a +2 +(-3)}{3}\right)=(0,~0)$

    $\Leftrightarrow \begin{cases} &1 +b +3 = 0\\ &a +2 +(-3) = 0 \end{cases}$

    $\therefore~~ \boldsymbol{(a,~b) = (1,-4)}$