座標平面上の外分点の座標

暗記座標表面上の外分点

座標平面上の内分点を参考に 座標平面上の2点$A(x_1,y_1)，B(x_2,y_2)$に対し，線分$AB$を$m : n$ に外分する点$Q$の座標$(x,y)$は

$x=\dfrac{-n x_1 + mx_2}{m-n},~y=\dfrac{-n y_1 + my_2}{m-n}$

であることを示せ．

無題

無題

右図のように$P'$は線分$A'B'$を$m :n$ に外分する点なので

$x=\dfrac{-nx_1 + mx_2}{m-n}$

であり，$y$ 座標の方も同様にして

$y=\dfrac{-ny_1 + my_2}{m-n}$

である．

座標平面上の外分点

座標平面上の2点$A(x_1,y_1)，B(x_2,y_2)$に対し，線分$AB$を$m : n$ に外分する点$Q$の座標$(x,y)$は

$x=\dfrac{-n x_1 + mx_2}{m-n}~~,~y=\dfrac{-n y_1 + my_2}{m-n}$

である．

座標表面上の外分点

以下の点$A, B$について，それぞれ，線分$AB$を$3:1$に外分する点$P$，$2:3$に外分する点$Q$，$ 4:3$に外分する点$R$の座標を求めよ．

  1. $A(2, 5)，B(3, 2)$
  2. $A( − 2, 3)，B(3, − 1)$

点$P$は線分$AB$を$3:( − 1)$に内分した点 $\blacktriangleleft 1$の方が小さいので$1$を$( − 1)$倍

点$Q$は線分$AB$を$( − 2):3$に内分した 点$\blacktriangleleft 2$の方が小さいので$2$を$( − 1)$倍

点$R$は線分$AB$を$4:( − 3)$に内分した 点$\blacktriangleleft 3$の方が小さいので$3$を$( − 1)$倍

と考えて，公式に当てはめればよい．

  1. 座標表面上の外分点の解答の図

    $P$の座標は$\left(\dfrac{(-1)\cdot2+3\cdot3}{3+(-1)},~\dfrac{(-1)\cdot5+3\cdot 2}{3+(-1)}\right)$

    $\blacktriangleleft$次のような図を書いてみよう.

    $Q$の座標は $\left(\dfrac{3\cdot2+(-2)\cdot3}{(-2)+3},~\dfrac{3\cdot5+(-2)\cdot 2}{(-2)+3}\right)$

    $R$の座標は $\left(\dfrac{(-3)\cdot2+4\cdot 3}{4+(-3)},~\dfrac{(-3)\cdot 5+4\cdot 2}{4+(-3)}\right)$

    なので $P\,\boldsymbol{\left(\dfrac{7}{2},~\dfrac12\right)}, Q\,\boldsymbol{\left(0,~11\right)}, R\,\boldsymbol{\left(6,-7\right)}$

  2. $P\,\boldsymbol{\left(\dfrac{11}{2},-3\right)}, $
    $Q\,\boldsymbol{\left(-12,~11\right)}, $
    $R\,\boldsymbol{\left(18,-13\right)}$

    $\blacktriangleleft P\left(\dfrac{(-1)\cdot(-2)+3\cdot3}{3+(-1)}\right. ,$
    $\qquad\left.\dfrac{(-1)\cdot3+3\cdot(-1)}{3+(-1)}\right)$

    $Q\left(\dfrac{3\cdot(-2)+(-2)\cdot3}{(-2)+3}\right. ,$
    $\qquad\left.\dfrac{3\cdot3+(-2)\cdot(-1)}{(-2)+3}\right)$

    $R\left(\dfrac{(-3)\cdot(-2)+4\cdot 3}{4+(-3)}\right. ,$
    $\qquad\left.\dfrac{(-3)\cdot 3+4\cdot(-1)}{4+(-3)}\right)$