座標平面上の内分点の座標

無題

無題

2点$A(x_1, y _1)，B(x_2, y_ 2)$に対して，線分$AB$を$m : n$に内分する点$P$の座標$(x, y)$を求めてみよう．

右図のように$P'$は線分$A'B'$を$m : n$に内分する点なので

\[x=\dfrac{nx_1 + mx_2}{m+n}\]

であり，$y$座標の方も同様にして

\[y=\dfrac{ny_1 + my_2}{m+n}\]

である．

座標平面上の内分点

座標平面上の2点$A(x_1, y _1)，B(x_2, y_ 2)$に対し，線分$AB$を$m : n $に内分する点$P$の座標$(x, y)$は

\[x=\dfrac{n x_1 + mx_2}{m+n}~~,~~~y=\dfrac{n y_1 + my_2}{m+n}\]

である．

特に，$P$が中点のとき，$m = n$より，$x=\dfrac{x_1 +x_2}{2}，y=\dfrac{y_1 +y_2}{2}$である．

座標平面上の内分点

以下の点$A, B$について，それぞれ，線分$AB$を$3:1$に内分する点$P$，線分$AB$を$2:3$に内分する点$Q$， 線分$AB$の中点$M$の座標を求めよ．

  1. $ A(2, 5)，B(3, 2)$
  2. $ A( − 2, 3)，B(3, − 1) $
  3. $ A(0, 0)，B(3, − 4) $

  1. 座標平面上の内分点の解答の図その１

    $P$の座標は$\left(\dfrac{1\cdot2+3\cdot3}{3+1},~\dfrac{1\cdot5+3\cdot2}{3+1}\right)$

    $Q$の座標は$\left(\dfrac{3\cdot2+2\cdot3}{2+3},~\dfrac{3\cdot5+2\cdot2}{2+3}\right)$

    $M$の座標は$\left(\dfrac{2+3}{2},~\dfrac{5+2}{2}\right)$なので

    $\boldsymbol{\text{P}\left(\dfrac{11}{4},~\dfrac{11}{4}\right)}$

    $\boldsymbol{\text{Q}\left(\dfrac{12}{5},~\dfrac{19}{5}\right)}$

    $\boldsymbol{\text{M}\left(\dfrac{5}{2},~\dfrac{7}{2}\right)}$

  2. 座標平面上の内分点の解答の図その２

    $P$の座標は$\left(\dfrac{1\cdot(-2)+3\cdot3}{3+1},~\dfrac{1\cdot3+3\cdot(-1)}{3+1}\right)$

    $Q$の座標は$\left(\dfrac{3\cdot(-2)+2\cdot3}{2+3},~\dfrac{3\cdot3+2\cdot(-1)}{2+3}\right)$

    $M$の座標は$\left(\dfrac{-2+3}{2},~\dfrac{3+(-1)}{2}\right)$なので

    $\boldsymbol{\text{P}\left(\dfrac{7}{4},~0\right)}$

    $\boldsymbol{\text{Q}\left(0,~\dfrac{7}{5}\right)}$

    $\boldsymbol{\text{M}\left(\dfrac{1}{2},~1\right)}$

  3. $\boldsymbol{\text{P}\left(\dfrac{9}{4},~-3\right)}$

    $\boldsymbol{\text{Q}\left(\dfrac{6}{5},~-\dfrac{8}{5}\right)}$

    $\boldsymbol{\text{M}\left(\dfrac{3}{2},~-2\right)}$

    $\blacktriangleleft P\left(\dfrac{1\cdot0+3\cdot3}{3+1},~\dfrac{1\cdot0+3\cdot(-4)}{3+1}\right)$

    $Q\left(\dfrac{3\cdot0+2\cdot3}{2+3},~\dfrac{3\cdot0+2\cdot(-4)}{2+3}\right)$

    $M\left(\dfrac{0+3}{2},~\dfrac{0+(-4)}{2}\right)$