座標平面上の2点間の距離

無題

座標平面上の2点$A(x_1,~y_1)，B(x_2,~y_2)$間の距離$AB$について考えよう．

右図のように点$C$をとると

\[AC= | x_2 − x_1 | , BC= | y_2 − y_1 |\]

なので，三平方の定理より

\begin{align} {AB}^2&={AC}^2+{BC}^2\\ &=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2 \end{align}

なので，$AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$となる．

座標平面上の2点間の距離

座標平面上の2点$A(x_1,y_1)，B(x_2,y_2)$間の距離は

\[AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\]

である．

2点間の距離

2点$A,~B$が次の座標にあるとき，2点$A,~B$の間の距離を求めよ．

$ A(1, 3)，B(5, 6)$
$A( − 3, − 5)，B(2, 3)$
$A(6, − 1)，B( − 2, 4)$

2点間の距離の解答

$AB=\sqrt{(5-1)^2+(6-3)^2}=\boldsymbol{5}$
$AB=\sqrt{\{2-(-3)\}^2+\{3-(-5)\}^2}$
$\qquad=\boldsymbol{\sqrt{89}}$
$AB=\sqrt{(-2-6)^2+\{4-(-1)\}^2}$
$\qquad=\boldsymbol{\sqrt{89}}$

中線定理の証明

$\vartriangle ABC$において，辺$BC$の中点を$M$とする．このとき

\[\text{AB}^2 + \text{AC}^2 =2(\text{AM}^2 + \text{MB}^2)\]

であることを，座標平面を用いて示せ．

中線定理の証明の解答

点$A，B，C，M$を右図のように座標平面上で$A(a_1,~a_2)，B(-c,~0)，C(c,~0)，M(0,~0)$とおいても一般性を失わない．座標平面状の2点間の距離を考えて

\begin{align} &\text{AB}^2+\text{AC}^2\\ =&\left(\sqrt{(a_1+c)^2+{a_2}^2}\right)^2\\ &+\left(\sqrt{(a_1-c)^2+{a_2}^2}\right)^2\\ =&{a_1}^2+2{a_1}c+c^2+{a_2}^2\\ &+{a_1}^2-2{a_1}c+c^2+{a_2}^2\\ =&2({a_1}^2+{a_2}^2+c^2) \end{align}

同様に

\begin{align} &2(\text{AM}^2 + \text{MB}^2)\\ =&2\left\{\left(\sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2}\right)^2+\left(\sqrt{c^2}\right)^2\right\}\\ =&2({a_1}^2+{a_2}^2+c^2) \end{align}

よって，$\text{AB}^2+\text{AC}^2=2(\text{AM}^2 + \text{MB}^2)$が成り立つ．

（注）

この例題のように，座標を用いて幾何（図形）の証明問題を解くこともできる．このようなアプローチの幾何学を 座標幾何学（coordinate geometry）という