条件つきの等式の証明

等式の中には，恒等式ではないが，ある条件のもとではつねに成り立つ等式がある．

たとえば， $a^2 − 2b^2 = ab$ は恒等式ではない（ $a = b = 1$ を考えてみよ）． しかし，$a + b = 0$ という条件の下では常に成り立つ． これを証明するには，条件 $a + b = 0$ から $b = − a$ が成り立つことを利用して

（左辺） $= a^2 − 2( − a)^2 = − a^2$

（右辺） $= a( − a) = − a^2$

より，（左辺）$=$（右辺）とすればよい．

一般に，ある条件のもとで成り立つ等式を証明するには，その条件式を証明すべき式に代入すればよい． そのことを次の例題で学んでいこう．

条件つきの等式の証明-その1-

次の等式を証明せよ．

  1. $a + b = 0$ のとき， $ab + a^2 = 0$
  2. $a + b = 0$ のとき， $a^2 − 2b^2 = ab$
  3. $ x + y = 1$ のとき，
    $\qquad x^2 + y^2 + 1 = 2(x + y − xy)$

  1. 左辺を変形すると

    　　（左辺）$ = a(a + b) = 0$ 　　　　　　　　　 $\blacktriangleleft a+b=0$ を使った

    　よって，（左辺） $=$ （右辺）がいえる．

  2. $a + b = 0$より，$b = − a$ なので

    　　（左辺）$=a^2 − 2( − a)^2 = − a^2$ 　　　　　　 $\blacktriangleleft b=-a$ を使った

    　　（右辺） $= a( − a) = − a^2$

    　よって，（左辺） $=$ （右辺）がいえる．

  3. $x + y = 1$ より，$y = 1 − x$ なので

    　　（左辺） $= x^2 + (1 − x)^2 + 1$ 　　　　　　　　 $\blacktriangleleft y=1-x$ を使った

    　 　　　 $= x^2 + 1 − 2x + x^2 + 1 = 2(x^2 − x + 1)$

    　　（右辺）$=2{x + (1 − x) − x(1 − x)}$ 　　　　　　 $\blacktriangleleft y=1-x$ を使った

    $= 2(x + 1 − x − x + x^2) $
    $= 2(x^2 − x + 1)$

    　　よって，（左辺） $=$ （右辺）がいえる．

条件つきの等式の証明-その2-

次の等式を証明せよ．

  1. $xy = 1$ のとき，
    $\qquad\left(x+\dfrac{1}{y}\right)\left(y+\dfrac{1}{x}\right)=4$
  2. $x+\dfrac{1}{x}=3$ のとき，
    $\qquad x^2+\dfrac{1}{x^2}=7$
  3. $xyz = 1$ のとき，
    $\qquad\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx}=x+y+z$

  1. $xy = 1$ より，$x\neq 0$ であるから，$y=\dfrac{1}{x}$ と変形できる．

    これを左辺にもちいると

    （左辺） $=\left(x+x\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}\right)$

    　 　　　 $=2x\cdot\dfrac{2}{x}$

    　　　　　 $=4=$ （右辺） となる．

  2. $x+\dfrac{1}{x}=3$ を左辺にもちいると

    （左辺） $=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2-2\cdot x\cdot \dfrac{1}{x}$ 　　　　　　　 $\blacktriangleleft a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$ という変形を使った

    　　 　　 $=3^2-2=7$ 　　　　　　　　　　　　 $\blacktriangleleft x+\dfrac{1}{x}=3$ を使った

    より，（左辺） $=$ （右辺）である．

  3. $xyz = 1$ より， $z=\dfrac{1}{xy}$ なので

    （左辺） $=\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{y\cdot\dfrac{1}{xy}}+\dfrac{1}{\dfrac{1}{xy}\cdot x}$

    　　　　 $=\dfrac{1}{xy}+x+y$

    　　　 　 $=x+y+z=$ （右辺） 　　　 $\blacktriangleleft z=\dfrac{1}{xy}$ を使った

    となる．