等式の証明を考える

恒等式 $A = B$ を証明するには， $A$ か $B$ の一方を変形して，他方を導けばよい．

たとえば

\[(x^2+x+1)(x^2-x+1)\] \[=x^4+x^2+1\]

を証明するには

\begin{eqnarray} \text{(左辺)}&=&(x^2+x+1)(x^2-x+1)\\ &=&x^4-x^3+x^2+x^3\\ &&-x^2+x+x^2-x+1\\ &=&x^4+x^2+1\\ &=&\text{(右辺) } \end{eqnarray}

とすればよい．

しかし，問題によっては $A = B$ と同値である

  1. $A = C$ かつ $B = C$
  2. $A − B = 0$

などの等式を証明する方が簡単なときもあるので，適宜使い分ける．

等式の証明〜その1〜

以下の等式を証明せよ．

  1. $(x+y)^2-(x-y)^2=4xy$
  2. $(a^2-b^2)(c^2-d^2)$
    $=(ac+bd)^2-(ad+bc)^2$
  3. $(x^3+1)(x^2+x+1)$
    $=(x+1)(x^4+x^2+1)$

  1. 左辺を展開し整理すると

    （左辺）

    \begin{eqnarray} &&=x^2+2xy＋y^2-(x^2-2xy+y^2)\\ &&=4xy= \end{eqnarray}

    (右辺)

    となる．

  2. 両辺をそれぞれ展開し整理すると

    (左辺)

    \[=a^2c^2-a^2d^2-b^2c^2+b^2d^2\]

    (右辺)

    \begin{eqnarray} &&=a^2c^2+2abcd+b^2d^2\\ &&\qquad\qquad-(a^2d^2+2abcd+b^2c^2)\\ &&=a^2c^2-a^2d^2-b^2c^2+b^2d^2 \end{eqnarray}

    よって，(左辺) $=$ 右辺)がいえる．

    ←「 $A = C$ かつ $B = C$ 」ならば「 $A = B$ 」という論法を使った}

  3. 左辺を変形して

    (左辺)

    \begin{eqnarray} &&=(x+1)(x^2-x+1)(x^2+x+1)\\ &&=(x+1)\{(x^2+1)^2-x^2\}\\ &&=(x+1)(x^4+x^2+1)= \end{eqnarray}

    (右辺)

    となる．

等式の証明〜その2〜

以下の等式を証明せよ．

  1. $\dfrac{1}{x+2}+\dfrac{1}{x-2}=\dfrac{2x}{x^2-4}$
  2. $\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}$
    $\qquad=\dfrac{1-xy}{(x+1)(y+1)}+1$
  3. $\dfrac{2}{x+2}-\dfrac{1}{x+3}$
    $\qquad+\dfrac{x}{(x+2)(x+3)}=\dfrac{2}{x+3}$

  1. 左辺を通分して計算していくと

    (左辺)

    $=\dfrac{x-2}{(x+2)(x-2)}+\dfrac{x+2}{(x+2)(x-2)}$

    $=\dfrac{x-2+x+2}{(x+2)(x-2)}=\dfrac{2x}{x^2-4}=$

    (右辺)

    となる．

  2. 両辺をそれぞれ通分して計算していくと

    (左辺)

    $=\dfrac{y+1}{(x+1)(y+1)}+\dfrac{x+1}{(x+1)(y+1)}$

    $=\dfrac{x+y+2}{(x+1)(y+1)}$

    (右辺)

    $=\dfrac{1-xy}{(x+1)(y+1)}+\dfrac{(x+1)(y+1)}{(x+1)(y+1)}$

    $=\dfrac{1-xy+xy+x+y+1}{(x+1)(y+1)}$

    $=\dfrac{x+y+2}{(x+1)(y+1)}$

    よって，(左辺) $=$ (右辺)がいえる．

  3. 左辺を通分して計算していくと

    (左辺)

    $=\dfrac{2x+6}{(x+2)(x+3)}-\dfrac{x+2}{(x+2)(x+3)}$
    $\qquad+\dfrac{x}{(x+2)(x+3)}$

    $=\dfrac{2x+4}{(x+2)(x+3)}$

    $=\dfrac{2(x+2)}{(x+2)(x+3)}=\dfrac{2}{x+3}=$

    (右辺)

    となる．