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比例式を条件にもつ等式の証明

a:b=x:y の定義は bx=ay である． 特に x，y が 0 でないとき，ax=by と変形できる． この ax=by のように，比の値が等しいことを示す式を比例式(proportional expression)という．

比例式を条件とする場合には，比の値を k，すなわちax=by=k などとおき， a=xk かつ b=yk の形で利用すると計算しやすい．

また

a:b:c=x:y:z

を， a，b，c の連比(continued ratio)といい， a:b=x:y かつ b:c=y:z かつc:a=z:x ，すなわち

bx=ay かつ cy=bz かつ az=cx

と定義する． こちらの場合も， x，y，z が 0 でないとき，ax=by=cz と変形できる．

比例式を条件にもつ等式の証明

0 でない実数 a, b, c, d, x, y, z において，次の等式を証明せよ．

  1. a:b=c:d のとき，
    a2+b2c2+d2=(bd)2
  2. a:b=c:d のとき，
    a2+c2b2+d2=acbd
  3. a:b:c=x:y:z のとき，
    a2+b2+c2x2+y2+z2=ab+bc+caxy+yz+zx

  1. a=ck，b=dk とおくと　　　　　　　　 ◂ 比例式の利用

    （左辺） =\dfrac{c^2k^2+d^2k^2}{c^2+d^2} 　 　　　 \blacktriangleleft a = ck，b = dk を使った

    =\dfrac{k^2(c^2+d^2)}{c^2+d^2}=k^2

    =\dfrac{d^2k^2}{d^2}=k^2

    より，（左辺） = （右辺）である．

  2. a = ck，b = dk とおくと　　　　　　　　 \blacktriangleleft 比例式の利用

    （左辺）= \dfrac{c^2k^2+c^2}{d^2k^2+d^2} 　　　　　　　　 \blacktriangleleft a = ck，b = dk を使った

    =\dfrac{c^2(k^2+1)}{d^2(k^2+1)}=\dfrac{c^2}{d^2}

    （右辺）=\dfrac{c^2k}{d^2k}=\dfrac{c^2}{d^2} 　　　　　　　　　　　 　 \blacktriangleleft a = ck，b = dk を使った

    より，（左辺） = （右辺）である．

  3. a = xk，b = yk，c = zk とおくと 　　　　　　　\blacktriangleleft 比例式の利用

    （左辺）= \dfrac{x^2k^2+y^2k^2+z^2k^2}{x^2+y^2+z^2} 　　　　 \blacktriangleleft a = xk，b = yk，c = zk を使った

    　　 =\dfrac{k^2(x^2+y^2+z^2)}{x^2+y^2+z^2}=k^2

    （右辺） =\dfrac{xyk^2+yzk^2+xzk^2}{xy+yz+zx} 　　　　 \blacktriangleleft a = xk，b = yk，c = zk を使った

    =\dfrac{k^2(xy+yz+xz)}{xy+yz+zx}=k^2

    より，（左辺） = （右辺）である．