比例式を条件にもつ等式の証明

$a:b = x:y$ の定義は $bx = ay$ である． 特に $x，y$ が $0$ でないとき，$\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}$ と変形できる． この $\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}$ のように，比の値が等しいことを示す式を比例式(proportional expression)という．

比例式を条件とする場合には，比の値を $k$，すなわち$ \dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}=k$ などとおき， $a = xk$ かつ $b = yk$ の形で利用すると計算しやすい．

また

\[a:b:c=x:y:z\]

を， $a，b，c$ の連比(continued ratio)といい， $a:b = x:y$ かつ $b:c = y:z$ かつ$c:a = z:x$ ，すなわち

$bx = ay $ かつ $cy = bz$ かつ $ az = cx$

と定義する． こちらの場合も， $x，y，z$ が $0$ でないとき，$\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}=\dfrac{c}{z}$ と変形できる．

比例式を条件にもつ等式の証明

$0$ でない実数 $a,~b,~c,~d,~x,~y,~z$ において，次の等式を証明せよ．

  1. $a:b = c :d$ のとき，
    $\qquad\dfrac{a^2+b^2}{c^2+d^2}=\left(\dfrac{b}{d}\right)^2$
  2. $a:b = c :d$ のとき，
    $\qquad\dfrac{a^2+c^2}{b^2+d^2}=\dfrac{ac}{bd}$
  3. $a:b:c = x :y :z$ のとき，
    $\qquad\dfrac{a^2+b^2+c^2}{x^2+y^2+z^2}=\dfrac{ab+bc+ca}{xy+yz+zx}$

  1. $a = ck，b = dk$ とおくと　　　　　　　　 $\blacktriangleleft$ 比例式の利用

    （左辺） $=\dfrac{c^2k^2+d^2k^2}{c^2+d^2}$ 　 　　　 $\blacktriangleleft a = ck，b = dk$ を使った

    $=\dfrac{k^2(c^2+d^2)}{c^2+d^2}=k^2$

    $=\dfrac{d^2k^2}{d^2}=k^2$

    より，（左辺） $=$ （右辺）である．

  2. $a = ck，b = dk$ とおくと　　　　　　　　 $\blacktriangleleft$ 比例式の利用

    （左辺）= $\dfrac{c^2k^2+c^2}{d^2k^2+d^2}$ 　　　　　　　　 $\blacktriangleleft a = ck，b = dk$ を使った

    $=\dfrac{c^2(k^2+1)}{d^2(k^2+1)}=\dfrac{c^2}{d^2}$

    （右辺）$=\dfrac{c^2k}{d^2k}=\dfrac{c^2}{d^2}$ 　　　　　　　　　　　 　 $ \blacktriangleleft a = ck，b = dk$ を使った

    より，（左辺） $=$ （右辺）である．

  3. $a = xk，b = yk，c = zk$ とおくと 　　　　　　　$\blacktriangleleft$ 比例式の利用

    （左辺）= $\dfrac{x^2k^2+y^2k^2+z^2k^2}{x^2+y^2+z^2}$ 　　　　 $\blacktriangleleft a = xk，b = yk，c = zk$ を使った

    　　 $=\dfrac{k^2(x^2+y^2+z^2)}{x^2+y^2+z^2}=k^2$

    （右辺） $=\dfrac{xyk^2+yzk^2+xzk^2}{xy+yz+zx}$ 　　　　 $ \blacktriangleleft a = xk，b = yk，c = zk$ を使った

    $=\dfrac{k^2(xy+yz+xz)}{xy+yz+zx}=k^2$

    より，（左辺） $=$ （右辺）である．