比例式を条件にもつ等式の証明

$a:b = x:y$ の定義は $bx = ay$ である. 特に $x,y$ が $0$ でないとき,$\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}$ と変形できる. この $\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}$ のように,比の値が等しいことを示す式を比例式(proportional expression)という.

比例式を条件とする場合には,比の値を $k$,すなわち$ \dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}=k$ などとおき, $a = xk$ かつ $b = yk$ の形で利用すると計算しやすい.

また

\[a:b:c=x:y:z\]

を, $a,b,c$ の連比(continued ratio)といい, $a:b = x:y$ かつ $b:c = y:z$ かつ$c:a = z:x$ ,すなわち

$bx = ay $ かつ $cy = bz$ かつ $ az = cx$

と定義する. こちらの場合も, $x,y,z$ が $0$ でないとき,$\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}=\dfrac{c}{z}$ と変形できる.

比例式を条件にもつ等式の証明

$0$ でない実数 $a,~b,~c,~d,~x,~y,~z$ において,次の等式を証明せよ.

  1. $a:b = c :d$ のとき,
    $\qquad\dfrac{a^2+b^2}{c^2+d^2}=\left(\dfrac{b}{d}\right)^2$
  2. $a:b = c :d$ のとき,
    $\qquad\dfrac{a^2+c^2}{b^2+d^2}=\dfrac{ac}{bd}$
  3. $a:b:c = x :y :z$ のとき,
    $\qquad\dfrac{a^2+b^2+c^2}{x^2+y^2+z^2}=\dfrac{ab+bc+ca}{xy+yz+zx}$

  1. $a = ck,b = dk$ とおくと         $\blacktriangleleft$ 比例式の利用

    (左辺) $=\dfrac{c^2k^2+d^2k^2}{c^2+d^2}$       $\blacktriangleleft a = ck,b = dk$ を使った

    $=\dfrac{k^2(c^2+d^2)}{c^2+d^2}=k^2$

    $=\dfrac{d^2k^2}{d^2}=k^2$

    より,(左辺) $=$ (右辺)である.

  2. $a = ck,b = dk$ とおくと         $\blacktriangleleft$ 比例式の利用

    (左辺)= $\dfrac{c^2k^2+c^2}{d^2k^2+d^2}$          $\blacktriangleleft a = ck,b = dk$ を使った

    $=\dfrac{c^2(k^2+1)}{d^2(k^2+1)}=\dfrac{c^2}{d^2}$

    (右辺)$=\dfrac{c^2k}{d^2k}=\dfrac{c^2}{d^2}$               $ \blacktriangleleft a = ck,b = dk$ を使った

    より,(左辺) $=$ (右辺)である.

  3. $a = xk,b = yk,c = zk$ とおくと        $\blacktriangleleft$ 比例式の利用

    (左辺)= $\dfrac{x^2k^2+y^2k^2+z^2k^2}{x^2+y^2+z^2}$      $\blacktriangleleft a = xk,b = yk,c = zk$ を使った

       $=\dfrac{k^2(x^2+y^2+z^2)}{x^2+y^2+z^2}=k^2$

    (右辺) $=\dfrac{xyk^2+yzk^2+xzk^2}{xy+yz+zx}$      $ \blacktriangleleft a = xk,b = yk,c = zk$ を使った

    $=\dfrac{k^2(xy+yz+xz)}{xy+yz+zx}=k^2$

    より,(左辺) $=$ (右辺)である.