実数の平方について

（左辺） $−$ （右辺）を計算すると

（左辺） $−$ （右辺） $$\begin{eqnarray} &=&(x+y)^2-2xy-(x^2-y^2)\\ &=&(x^2+y^2+2xy)-2xy-x^2+y^2\\ &=&2y^2\geqq 0 \end{eqnarray}$$ $\qquad\qquad \blacktriangleleft$実数の平方

より，（左辺） $\geqq$ （右辺）である．

また，等号が成立するのは， $2y^2 = 0$ ，すなわち $y = 0$ のときである．

条件式の（左辺） $−$ （右辺）を計算すると

$\tag{1}\label{jissuunoheihouriyouhutousikisyoumei}$

$\left(x+\dfrac{y}{2}\right)^2+\dfrac{3y^2}{4}\geqq0$ であるが，$\left(x+\dfrac{y}{2}\right)^2+\dfrac{3y^2}{4}=0$ のときは，$\eqref{jissuunoheihouriyouhutousikisyoumei}$が成り立たないので， $\left(x+\dfrac{y}{2}\right)^2+\dfrac{3y^2}{4}>0$ である．　　　　　 $\blacktriangleleft$ 実数の平方

よって，$\eqref{jissuunoheihouriyouhutousikisyoumei}$より $x − y > 0$ ，すなわち $x > y$ ．

（右辺） $\geqq0$ ，（左辺） $\geqq0$ なので， （右辺) $^2 −$ （左辺）) $^2\geqq0$ を証明すればよい． $\blacktriangleleft$ 平方による比較

（右辺) $^2 −$ （左辺) $^2=\left(\sqrt{2(x+y)}\ \right)^2-\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\ \right)^2$

であるので，（右辺) $^2\geqq$ （左辺) $^2$であり， （右辺） $\geqq$ （左辺）である．

また，等号が成立するのは， $\sqrt{x}-\sqrt{y}=0$ ，すなわち $x = y$ のときである．