実数の平方について

不等式の性質より， $a \gt 0$ のとき$a^2 \gt 0，a \lt 0$ のとき $a^2 \gt 0$ である． また， $a = 0$ のときは $a^2 = 0$ であるから，次の不等式が成り立つ．

実数の平方

$a$ が実数のとき， $a^2 \geqq 0$ が成り立つ．等号が成り立つのは $a = 0$ のときに限る．

この性質は，2次関数などですでに何度も使われているが，ここであらためて確認しておく．

実数の平方を利用した不定式の証明

次の不等式を証明せよ．等号のあるものについては，等号が成り立つ場合を調べよ．

  1. $ (x+y)^2-2xy \geqq x^2-y^2 $
  2. $x^3 \gt y^3$ のとき，$x \gt y$
  3. $x \geqq y \geqq 0$ のとき，
    $\sqrt{x}+\sqrt{y}\leqq \sqrt{2(x+y)}$

  1. （左辺） $−$ （右辺）を計算すると

    （左辺） $−$ （右辺） \begin{eqnarray} &=&(x+y)^2-2xy-(x^2-y^2)\\ &=&(x^2+y^2+2xy)-2xy-x^2+y^2\\ &=&2y^2\geqq 0 \end{eqnarray} $\qquad\qquad \blacktriangleleft $実数の平方

    より，（左辺） $\geqq$ （右辺）である．

    また，等号が成立するのは， $2y^2 = 0$ ，すなわち $y = 0$ のときである．

  2. 条件式の（左辺） $−$ （右辺）を計算すると

    \begin{align} &x^3-y^3>0 \\ \Leftrightarrow~&(x-y)(x^2+xy+y^2)>0 \\ \Leftrightarrow~&(x-y)\left\{\left(x+\dfrac{y}{2}\right)^2-\dfrac{y^2}{4}+y^2\right\}\\ >&0 \end{align}　　　　　　　$\blacktriangleleft$平方完成をした \begin{align} \Leftrightarrow~&(x-y)\left\{\left(x+\dfrac{y}{2}\right)^2+\dfrac{3y^2}{4}\right\}\\ >&0 \end{align}

    $\tag{1}\label{jissuunoheihouriyouhutousikisyoumei}$

    $\left(x+\dfrac{y}{2}\right)^2+\dfrac{3y^2}{4}\geqq0$ であるが，$\left(x+\dfrac{y}{2}\right)^2+\dfrac{3y^2}{4}=0$ のときは，$\eqref{jissuunoheihouriyouhutousikisyoumei}$が成り立たないので， $\left(x+\dfrac{y}{2}\right)^2+\dfrac{3y^2}{4}>0$ である．　　　　　 $\blacktriangleleft$ 実数の平方

    よって，$\eqref{jissuunoheihouriyouhutousikisyoumei}$より $x − y > 0$ ，すなわち $x > y$ ．

  3. （右辺） $\geqq0$ ，（左辺） $\geqq0$ なので， （右辺) $^2 − $ （左辺）) $^2\geqq0$ を証明すればよい． $\blacktriangleleft$ 平方による比較

    （右辺) $^2 − $ （左辺) $^2=\left(\sqrt{2(x+y)}\ \right)^2-\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\ \right)^2 $

    \begin{align} &=2(x+y)-(x+2\sqrt{xy}+y)\\ &=x+y-2\sqrt{xy}\\ &=(\sqrt{x}-\sqrt{y}\ )^2\geqq0 \end{align} 　　 $\blacktriangleleft$ 実数の平方

    であるので，（右辺) $^2\geqq$ （左辺) $^2$であり， （右辺） $\geqq$ （左辺）である．

    また，等号が成立するのは， $\sqrt{x}-\sqrt{y}=0$ ，すなわち $x = y$ のときである．