円の方程式～平方完成形～

円は，中心と半径を決めればただ1つに定まる．

そこで，座標平面上の点$(a,~b)$を中心とした半径$r$の円$C$は， どのような方程式で表されるか考えてみよう．

円$C$の周上にある点$P$の座標を$(x,~y)$とすると， 2点$A,~P$距離は常に$r$である． 座標平面上の2点間の距離で学んだように，$\text{AP}=\sqrt{(x-a)^2 +(y-b)^2}$であるから

\begin{align} &Pが円Cの周上にある\\ &\Leftrightarrow~~\text{AP}=r\\ &\Leftrightarrow~~\sqrt{(x-a)^2 +(y-b)^2}=r \end{align} $\tag{1}\label{ennohouteishiki~heihoukanseikei~}$

等式$\eqref{ennohouteishiki~heihoukanseikei~}$の両辺は共に正であるので両辺を2乗して，等式

\begin{align} (x-a)^2 +(y-b)^2=r^2 \end{align}

を得る．