円の方程式～標準形～

中心$(2, − 1)$，半径$3$の円の方程式は$(x − 2)^2 + (y + 1)^2 = 9$となるが，この式は

$$\begin{align} &(x_2)^2 + (y+1)^2=9 \\ \Leftrightarrow& x^2 -4x +4 +y^2 +2y+1 =9\\ \Leftrightarrow& x^2 +y^2 -4x +2y -4=0 \end{align}$$

と変形することができる． 逆に，方程式$x^2 + y^2 − 4x + 2y − 4 = 0$は

$$\begin{align} &x^2 +y^2 -4x +2y -4=0 \\ \Leftrightarrow&(x^2 -4x +4)+(y^2 +2y +1)-4= 4+1\\ \Leftrightarrow&(x_2)^2 +(y+1)^2 = 9 \end{align}$$

と変形し，中心$(2,~2)$，半径$1$の円の方程式に一致することがわかる．

一般に方程式$x^2 + y^2 + lx + my + n = 0$は

$$\begin{align} &x^2 + y^2 +lx +my +n=0 \\ \Leftrightarrow & \quad \underbrace{\left(x+\dfrac{l}{2}\right)^2}\quad+\underbrace{\left(y+\dfrac{m}{2}\right)^2}\\ &xについて平方完成 \ \ \ yについて平方完成\\ &=\dfrac{l^2}{4} + \dfrac{m^2}{4}-n \end{align}$$

と変形できるので，$\dfrac{l^2}{4} + \dfrac{m^2}{4}-n>0$であれば， 円の方程式を表していることになる．