指数の実数への拡張

指数の実数への拡張について

指数$x$が無理数の場合にも，$a^x$を定めることができる．たとえば，$a^{\sqrt{2}}$では，$ \sqrt{2}=1.4142\cdots$だから

\begin{align} a^1~,~~a^{1.4}~,~~a^{1.41}~,~~a^{1.414}~,~~a^{1.4142}~,~~\cdots \end{align}

を考えると，これらはある一定の値に近づいていくので，その値を$a^{\sqrt{2}}$と定める． このようにして，無理数$p$に対して，$a^p$を定めると，指数法則が成り立つことが知られている．