指数の有理数への拡張

$3^{\frac{1}{2}}$ の意味

$3^{\frac12}$ の意味

今度は，整数に拡張された指数法則2. を使って，指数を有理数に拡張することを考えよう．

たとえば，指数部分が有理数 $\dfrac{1}{2}$ である， $3^{\frac{1}{2}}$ という数の意味は何だろうか． $3^2$ が「 $3$ を $2$ 回かけた数」であったから， $3^{\frac{1}{2}}$ は「 $3$ を $\dfrac{1}{2}$ 回かけた数」とでもなるのであろうが，「 $\dfrac{1}{2}$ 回かける」では意味不明である．

そこで，やはり「指数なのだから指数法則を満たすだろう」と考え，その体系の中で矛盾を生じないように考えていくことにする．

たとえば，( $3^\frac{1}{2})^2$ という数があったとして，これが整数に拡張された指数法則2. を満たすとすると

$\begin{align} \left(3^\frac{1}{2}\right)^2=3^{\frac{1}{2}\times2}=3^1 \end{align}$

となる．ここで， $3^\frac{1}{2}$ を $X$ で表すと

$\begin{align} X^2=3 \end{align}$

となる．この式を満たす $X$ は， $3$ の平方根であるから， $3^\frac{1}{2}$ は $\sqrt{3}$ であると考えられる（もうひとつの平方根 $-\sqrt{3}$ は $-3^\frac{1}{2}$ であると考えればよい）．

$3^{\frac{2}{3}}$ の意味

$3^{\frac23}$ の意味

また，仮に $3^\frac{2}{3}$ という数があったとして，これが整数に拡張された指数法則2. を満たすとすると

$\begin{align} \left(3^\frac{2}{3}\right)^3=3^{\frac{2}{3}\times3}=3^2 \end{align}$

となる．ここで， $3^\frac{2}{3}$ を $Y$ で表すと

$\begin{align} Y^3=3^2 \end{align}$

となる．この式を満たす $Y$ は， $3^2$ の立方根であり， $Y=\sqrt[3]{3^2}$ となる．つまり， $3^\frac{2}{3}$ は $\sqrt[3]{3^2}$ であると考えられる．

指数の有理数への拡張について

以上の話を一般化して， $a > 0$ のとき，有理数 $x$ を指数とする数 $a^x$ を定義してみよう．

整数に拡張された指数法則2. が， $x$ を $\dfrac{m}{n}$ ， $y$ を $n$ （ $m，n$ は自然数）としても成り立つとすると

$\begin{align} (a^\frac{m}{n})^n=a^m \end{align}$

すなわち， $n$ 乗すると $a^m$ になるので， $a^\frac{m}{n}$ は $a^m$ の $n$ 乗根（のうち正の方） $\sqrt[n]{a^m}$ と考えればよい．

有理数に拡張された指数の定義

$a > 0$ で， $m$ を整数， $n$ を自然数とするとき

$\begin{align} a^\frac{m}{n}=\sqrt[n]{a^m} \end{align}$

とする．

たとえば， $\sqrt[3]{5}=5^\frac{1}{3}，\sqrt[5]{8}=\sqrt[5]{2^3}=2^\frac{3}{5}$ である．

指数と累乗

次のうち， $a^\frac{m}{n}$ の形で表されたものは $\sqrt[n]{a^m}$ の形で表し， $\sqrt[n]{a^m}$ の形で表されたものは $a^\frac{m}{n}$ の形で表せ．

$a^\frac{1}{2}$
$a^\frac{2}{5}$
$a^{-\frac{3}{2}}$
$a^{-\frac{2}{5}}$
$\sqrt[5]{a}$
$\sqrt[3]{a^5}$
$\sqrt[6]{a^{-3}}$
$\dfrac{1}{\sqrt[4]{a^3}}$

指数と累乗の解答

$a^\frac{1}{2}=\boldsymbol{\sqrt{a}}$
$a^\frac{2}{5}=\boldsymbol{\sqrt[5]{a^2}}$
$a^{-\frac{3}{2}}=\boldsymbol{\sqrt[2]{a^{-3}}}$
$a^{-\frac{2}{5}}=\boldsymbol{\sqrt[5]{a^{-2}}}$
$\sqrt[5]{a}=\boldsymbol{a^\frac{1}{5}}$
$\sqrt[3]{a^5}=\boldsymbol{a^\frac{5}{3}}$
$\sqrt[6]{a^{-3}}=a^\frac{-3}{6}=\boldsymbol{a^{-\frac{1}{2}}}$
$\dfrac{1}{\sqrt[4]{a^3}}=\sqrt[4]{\dfrac{1}{a^3}}=\sqrt[4]{a^{-3}}=\boldsymbol{a^{-\frac{3}{4}}}$

有理数に拡張された指数法則

有理数 $x，y$ について次の等式が成り立つ．ただし， $a，b$ は正の実数とする．

1. $a^xa^y=a^{x+y}$
2. $(a^x)^y=a^{xy}$
3. $(ab)^x=a^xb^x$
1'. $\dfrac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$
3'. $\left(\dfrac{a}{b}\right)^x=\dfrac{a^x}{b^x}$

有理数に拡張された指数

$p=\dfrac{2}{3}，q=\dfrac{1}{3}$ として，上の有理数に拡張された指数法則1.，2.，3.が成り立つのを確認せよ．

有理数に拡張された指数の解答

の確認
（左辺）
$=a^\frac{2}{3}a^\frac{1}{3}=\sqrt[3]{a^2}\sqrt[3]{a}$ $=\sqrt[3]{a^3}$ $\blacktriangleleft$ 累乗根の基本性質2. $=a$
（右辺）
$=a^{\frac{2}{3}+\frac{1}{3}}=a$
となり，確かに成立する．

の確認
（左辺）
$=(a^\frac{2}{3})^\frac{1}{3}=\sqrt[3]{\sqrt[3]{a^2}}$ $=\sqrt[9]{a^2}$ $\blacktriangleleft$ 累乗根の基本性質2.
（右辺）
$=a^{\frac{2}{3}\times\frac{1}{3}}=a^\frac{2}{9}=\sqrt[9]{a^2}$
となり，確かに成立する．

の確認
（左辺） $=(ab)^\frac{2}{3}=\sqrt[3]{(ab)^2}=\sqrt[3]{a^2b^2}$
（右辺） $=a^\frac{2}{3}b^\frac{2}{3}=\sqrt[3]{a^2}\sqrt[3]{b^2}$
$=\sqrt[3]{a^2b^2}$ $\blacktriangleleft$ 累乗根の基本性質2.

指数の計算-その2-

次の値を求めよ．

$100^\frac{1}{2}$
$25^{-\frac{1}{2}}$
$8^{-\frac{2}{3}}$
$16^{0.75}$

指数の計算-その2-の解答

$\begin{align} 100^\frac{1}{2}&=\left(10^2\right)^\frac{1}{2}\\ &=10^{2\times\frac{1}{2}} \\ &=\boldsymbol{10} \end{align}$ $\blacktriangleleft$ 有理数に拡張された指数法則2.

$\begin{align} 25^{-\frac{1}{2}}&=(5^2)^{-\frac{1}{2}}\\ &=5^{2\times\left(-\frac{1}{2}\right)} \\ &=5^{-1}=\boldsymbol{\frac{1}{5}} \end{align}$ $\blacktriangleleft$ 有理数に拡張された指数法則2.

$\begin{align} 8^{-\frac{2}{3}}&=(2^3)^{-\frac{2}{3}}\\ &=2^{2\times\left(-\frac{2}{3}\right)}\\ &=2^{-2}=\boldsymbol{\frac{1}{4}} \end{align}$ $\blacktriangleleft$ 有理数に拡張された指数法則2.

$\begin{align} 16^{0.75}&=16^\frac{75}{100}=16^\frac{3}{4}=(2^4)^\frac{3}{4}\\ &=2^{4\times\frac{3}{4}}\\ &=2^3=\boldsymbol{8} \end{align}$ $\blacktriangleleft$ 有理数に拡張された指数法則2.

累乗根の値を求める-その2-（再掲）

累乗根の値を求める-その2-の例題を，指数になおすことによって計算せよ．答えは根号を使わず，指数のままでよい．

$\sqrt[3]{4}\sqrt[3]{16}$
$\dfrac{\sqrt[5]{96}}{\sqrt[5]{3}}$
$\sqrt[3]{216}$
$\sqrt[3]{\sqrt{729}}$
$\sqrt[6]{8}$
$\sqrt[15]{27}$

累乗根の値を求める-その2-（再掲）の解答

$\sqrt[3]{4}\sqrt[3]{16}=\sqrt[3]{2^2}\sqrt[3]{2^4}$ $=2^\frac{2}{3}2^\frac{4}{3}$ $\blacktriangleleft$ 有理数に拡張された指数の定義 $=2^{\frac{2}{3}\cdot\frac{4}{3}}$ $\blacktriangleleft$ 有理数に拡張された指数法則1. $=2^2=\boldsymbol{4}$
$\frac{\sqrt[5]{96}}{\sqrt[5]{3}}=\frac{96^\frac{1}{5}}{3^\frac{1}{5}}$ $\blacktriangleleft$ 有理数に拡張された指数の定義 $=\left(\frac{96}{3}\right)^\frac{1}{5}=32^\frac{1}{5}=(2^5)^\frac{1}{5}$ $\blacktriangleleft$ 有理数に拡張された指数法則3'. $=2^{5\cdot\frac{1}{5}}$ $\blacktriangleleft$ 有理数に拡張された指数法則2. $=\boldsymbol{2}$
$\sqrt[3]{216}=\sqrt[3]{6^3}=\boldsymbol{6}$
$\sqrt[3]{\sqrt{729}}=\left(729^\frac{1}{2}\right)^\frac{1}{3}$ $\blacktriangleleft$ 有理数に拡張された指数の定義 $=729^{\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}}$ $\blacktriangleleft$ 有理数に拡張された指数法則2. $=729^\frac{1}{6}=(3^6)^\frac{1}{6}$ $=3^{6\cdot\frac{1}{6}}$ $\blacktriangleleft$ 有理数に拡張された指数法則2. $=\boldsymbol{3}$
$\sqrt[6]{8}=\sqrt[6]{2^3}$ $=2^\frac{3}{6}$ $\blacktriangleleft$ 有理数に拡張された指数の定義 $=\boldsymbol{2^\frac{1}{2}}$
$\sqrt[15]{27}=\sqrt[15]{3^3}$ $=3^\frac{3}{15}$ $\blacktriangleleft$ 有理数に拡張された指数の定義 $=\boldsymbol{3^\frac{1}{5}}$