指数の有理数への拡張

$3^{\frac{1}{2}}$の意味

$3^{\frac12}$の意味

今度は，整数に拡張された指数法則2. を使って，指数を有理数に拡張することを考えよう．

たとえば，指数部分が有理数$\dfrac{1}{2}$である，$3^{\frac{1}{2}}$という数の意味は何だろうか． $3^2$が「$3$を$2$回かけた数」であったから，$3^{\frac{1}{2}}$は「$3$を$\dfrac{1}{2}$回かけた数」とでもなるのであろうが， 「$\dfrac{1}{2}$回かける」では意味不明である．

そこで，やはり「指数なのだから指数法則を満たすだろう」と考え，その体系の中で矛盾を生じないように考えていくことにする．

たとえば，($3^\frac{1}{2})^2$という数があったとして，これが整数に拡張された指数法則2. を満たすとすると

\begin{align} \left(3^\frac{1}{2}\right)^2=3^{\frac{1}{2}\times2}=3^1 \end{align}

となる．ここで，$3^\frac{1}{2}$を$X$で表すと

\begin{align} X^2=3 \end{align}

となる．この式を満たす$X$は，$3$の平方根であるから，$3^\frac{1}{2}$は$\sqrt{3}$であると考えられる （もうひとつの平方根$-\sqrt{3}$は$-3^\frac{1}{2}$であると考えればよい）．

$3^{\frac{2}{3}}$の意味

$3^{\frac23}$の意味

また，仮に$3^\frac{2}{3}$という数があったとして，これが整数に拡張された指数法則2. を満たすとすると

\begin{align} \left(3^\frac{2}{3}\right)^3=3^{\frac{2}{3}\times3}=3^2 \end{align}

となる．ここで，$3^\frac{2}{3}$を$Y$で表すと

\begin{align} Y^3=3^2 \end{align}

となる．この式を満たす$Y$は，$3^2$の立方根であり，$Y=\sqrt[3]{3^2}$となる． つまり，$3^\frac{2}{3}$は$\sqrt[3]{3^2}$であると考えられる．

指数の有理数への拡張について

指数の有理数への拡張について

以上の話を一般化して，$a > 0$のとき，有理数$x$を指数とする数$a^x$を定義してみよう．

整数に拡張された指数法則2. が， $x$を$\dfrac{m}{n}$，$y$を$n$（$m，n$は自然数） としても成り立つとすると

\begin{align} (a^\frac{m}{n})^n=a^m \end{align}

すなわち，$n$乗すると$a^m$になるので，$a^\frac{m}{n}$は$a^m$の$n$乗根（のうち正の方）$\sqrt[n]{a^m}$と考えればよい．

有理数に拡張された指数の定義

$a > 0$で，$m$を整数，$n$を自然数とするとき

\begin{align} a^\frac{m}{n}=\sqrt[n]{a^m} \end{align}

とする．

たとえば，$\sqrt[3]{5}=5^\frac{1}{3}，\sqrt[5]{8}=\sqrt[5]{2^3}=2^\frac{3}{5}$である．

指数と累乗

次のうち，$a^\frac{m}{n}$の形で表されたものは$\sqrt[n]{a^m}$の形で表し， $\sqrt[n]{a^m}$の形で表されたものは$a^\frac{m}{n}$の形で表せ．

  1. $a^\frac{1}{2}$
  2. $a^\frac{2}{5}$
  3. $a^{-\frac{3}{2}}$
  4. $a^{-\frac{2}{5}} $
  5. $\sqrt[5]{a}$
  6. $\sqrt[3]{a^5}$
  7. $\sqrt[6]{a^{-3}}$
  8. $\dfrac{1}{\sqrt[4]{a^3}}$

  1. $a^\frac{1}{2}=\boldsymbol{\sqrt{a}} $
  2. $a^\frac{2}{5}=\boldsymbol{\sqrt[5]{a^2}} $
  3. $a^{-\frac{3}{2}}=\boldsymbol{\sqrt[2]{a^{-3}}} $
  4. $a^{-\frac{2}{5}}=\boldsymbol{\sqrt[5]{a^{-2}}} $
  5. $\sqrt[5]{a}=\boldsymbol{a^\frac{1}{5}} $
  6. $\sqrt[3]{a^5}=\boldsymbol{a^\frac{5}{3}} $
  7. $\sqrt[6]{a^{-3}}=a^\frac{-3}{6}=\boldsymbol{a^{-\frac{1}{2}}} $
  8. $\dfrac{1}{\sqrt[4]{a^3}}=\sqrt[4]{\dfrac{1}{a^3}}=\sqrt[4]{a^{-3}}=\boldsymbol{a^{-\frac{3}{4}}}$

有理数に拡張された指数法則

有理数$x，y$について次の等式が成り立つ．ただし，$a，b$は正の実数とする．

  • 1.$a^xa^y=a^{x+y}$
  • 2.$(a^x)^y=a^{xy}$
  • 3.$(ab)^x=a^xb^x $
  • 1'.$\dfrac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$
  • 3'.$\left(\dfrac{a}{b}\right)^x=\dfrac{a^x}{b^x}$

有理数に拡張された指数

$p=\dfrac{2}{3}，q=\dfrac{1}{3}$として，上の有理数に拡張された指数法則1.，2.，3.が成り立つのを確認せよ．

  1. の確認

    （左辺）

    \[=a^\frac{2}{3}a^\frac{1}{3}=\sqrt[3]{a^2}\sqrt[3]{a}\] \[=\sqrt[3]{a^3}\] $\blacktriangleleft$ 累乗根の基本性質2. \[=a\]

    （右辺）

    \[=a^{\frac{2}{3}+\frac{1}{3}}=a\]

    となり，確かに成立する．

  2. の確認

    （左辺）

    \[=(a^\frac{2}{3})^\frac{1}{3}=\sqrt[3]{\sqrt[3]{a^2}}\] \[=\sqrt[9]{a^2}\] $\blacktriangleleft$ 累乗根の基本性質2.

    （右辺）

    \[=a^{\frac{2}{3}\times\frac{1}{3}}=a^\frac{2}{9}=\sqrt[9]{a^2}\]

    となり，確かに成立する．

  3. の確認

    （左辺）$=(ab)^\frac{2}{3}=\sqrt[3]{(ab)^2}=\sqrt[3]{a^2b^2}$

    （右辺）$=a^\frac{2}{3}b^\frac{2}{3}=\sqrt[3]{a^2}\sqrt[3]{b^2}$

    \[=\sqrt[3]{a^2b^2}\] $\blacktriangleleft$ 累乗根の基本性質2.

指数の計算-その2-

次の値を求めよ．

  1. $100^\frac{1}{2}$
  2. $25^{-\frac{1}{2}} $
  3. $8^{-\frac{2}{3}}$
  4. $16^{0.75}$

  1. \begin{align} 100^\frac{1}{2}&=\left(10^2\right)^\frac{1}{2}\\ &=10^{2\times\frac{1}{2}} \\ &=\boldsymbol{10} \end{align} $\blacktriangleleft$ 有理数に拡張された指数法則2.

  2. \begin{align} 25^{-\frac{1}{2}}&=(5^2)^{-\frac{1}{2}}\\ &=5^{2\times\left(-\frac{1}{2}\right)} \\ &=5^{-1}=\boldsymbol{\frac{1}{5}} \end{align} $\blacktriangleleft$ 有理数に拡張された指数法則2.

  3. \begin{align} 8^{-\frac{2}{3}}&=(2^3)^{-\frac{2}{3}}\\ &=2^{2\times\left(-\frac{2}{3}\right)}\\ &=2^{-2}=\boldsymbol{\frac{1}{4}} \end{align} $\blacktriangleleft$ 有理数に拡張された指数法則2.

  4. \begin{align} 16^{0.75}&=16^\frac{75}{100}=16^\frac{3}{4}=(2^4)^\frac{3}{4}\\ &=2^{4\times\frac{3}{4}}\\ &=2^3=\boldsymbol{8} \end{align} $\blacktriangleleft$ 有理数に拡張された指数法則2.

累乗根の値を求める-その2-（再掲）

累乗根の値を求める-その2-の例題を，指数になおすことによって計算せよ． 答えは根号を使わず，指数のままでよい．

  1. $\sqrt[3]{4}\sqrt[3]{16}$
  2. $\dfrac{\sqrt[5]{96}}{\sqrt[5]{3}}$
  3. $\sqrt[3]{216} $
  4. $\sqrt[3]{\sqrt{729}}$
  5. $\sqrt[6]{8}$
  6. $\sqrt[15]{27}$

  1. \[\sqrt[3]{4}\sqrt[3]{16}=\sqrt[3]{2^2}\sqrt[3]{2^4}\] \[=2^\frac{2}{3}2^\frac{4}{3}\] $\blacktriangleleft$有理数に拡張された指数の定義 \[=2^{\frac{2}{3}\cdot\frac{4}{3}}\] $\blacktriangleleft$有理数に拡張された指数法則1. \[=2^2=\boldsymbol{4}\]
  2. \[\frac{\sqrt[5]{96}}{\sqrt[5]{3}}=\frac{96^\frac{1}{5}}{3^\frac{1}{5}}\] $\blacktriangleleft$有理数に拡張された指数の定義 \[=\left(\frac{96}{3}\right)^\frac{1}{5}=32^\frac{1}{5}=(2^5)^\frac{1}{5}\] $\blacktriangleleft$有理数に拡張された指数法則3'. \[=2^{5\cdot\frac{1}{5}}\] $\blacktriangleleft$有理数に拡張された指数法則2. \[=\boldsymbol{2}\]
  3. \[\sqrt[3]{216}=\sqrt[3]{6^3}=\boldsymbol{6}\]
  4. \[\sqrt[3]{\sqrt{729}}=\left(729^\frac{1}{2}\right)^\frac{1}{3}\] $\blacktriangleleft$有理数に拡張された指数の定義 \[=729^{\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}}\] $\blacktriangleleft$有理数に拡張された指数法則2. \[=729^\frac{1}{6}=(3^6)^\frac{1}{6}\] \[=3^{6\cdot\frac{1}{6}}\] $\blacktriangleleft$有理数に拡張された指数法則2. \[=\boldsymbol{3}\]
  5. \[\sqrt[6]{8}=\sqrt[6]{2^3}\] \[=2^\frac{3}{6}\] $\blacktriangleleft$有理数に拡張された指数の定義 \[=\boldsymbol{2^\frac{1}{2}}\]
  6. \[\sqrt[15]{27}=\sqrt[15]{3^3}\] \[=3^\frac{3}{15}\] $\blacktriangleleft$有理数に拡張された指数の定義 \[=\boldsymbol{3^\frac{1}{5}}\]