指数の拡張

今まで学んできた指数は自然数乗しか考えてこなかったが、ここでは指数法則をたよりに、実数乗の指数へ拡張していく。指数を拡張していく際に、累乗根が指数で表現されていく様子に注意しよう。

指数の整数への拡張

$3^{-2}$の意味

$3^{ − 2}$の意味

指数法則1.は，指数が自然数の場合，すなわち，正の整数の場合について成り立つ性質であるが， ここでは，指数を$0$や負の整数を含む一般の整数にまで拡張することを考えてみよう．

仮に$3^{ − 2}$という数があったとして，その意味について考えてみよう． $3^2$が「$3$を$2$かけた数」であったから，$3^{ − 2}$は「$3$を $− 2$回かけた数」とでもなるのであろうが， 「 $− 2$回かける」では意味不明である．

そこで，「指数の仲間なのだから指数法則を満たすだろう」と考え，その体系の中で 矛盾が生じないよう「 $− 2$回かける」を決められないか（意味づけられないか） 少し考えてみよう．

たとえば，$3^6\times3^{-2}$という計算があったとして，これが指数法則1.を満たすとすると

\begin{align} 3^6\times3^{-2}=3^{6-2}=3^4 \end{align}

となる．ここで，$3^{ − 2}$を$X$で表すと

\begin{align} 3^6\times{X}=3^4 \end{align}

となる．この式を満たす$X$を求めると，$X=\dfrac{3^4}{3^6}=\dfrac{1}{3^2}$である． つまり，$3^{ − 2}$は$\dfrac{1}{3^2}$であると考えると都合がよい．

$3^0$の意味

$3^0$の意味

また，$3^2\times3^0$という計算があったとして，これが指数法則1. を満たすとすると

\begin{align} 3^2\times3^0=3^{2+0}=3^2 \end{align}

となる．ここで，$3^0$を$Y$で表すと

\begin{align} 3^2\times{Y}=3^2 \end{align}

となる．この式を満たす$Y$を求めると，$Y=\dfrac{3^2}{3^2}=1$である．つまり，$3^0$は$1$であると考えると都合がよい．

指数の整数への拡張について

指数の整数への拡張について

一般に，指数が自然数の場合に成り立つ指数法則1.において，指数$x$が$0$のときにも成り立つとすると

\begin{align} a^0a^y=a^{0+y}=a^y \end{align}

であるから，$a^0 = 1$と考えると都合がよい．

さらに，指数法則1.が$x$を正の整数として，$y = − x$のときにも成り立つとすると

\begin{align} a^{x}a^{-x}=a^{x-x}=a^0=1 \end{align}

であるから，$a^{-x}=\dfrac{1}{a^x}$と考えると都合がよい（$x$が負の整数の場合も同様である）．

整数に拡張された指数の定義

$0$でない実数$a$に関して，$x$が整数のとき

\begin{align} a^0=1~~,~~~a^{-x}=\dfrac{1}{a^x} \end{align}

とする．

例として$a^n$をいくつか列挙すると次のようになる．

\begin{align} &\cdots~,~~a^3~,~~a^2~,~a^1=a~,~~a^0=1~,\\ &~~a^{-1}=\dfrac{1}{a}~,~~a^{-2}=\dfrac{1}{a^2}~,~~a^{-3}=\dfrac{1}{a^3}~,~~\cdots \end{align}

吹き出し指数の整数への拡張について

「マイナス$x$乗は$x$乗分の$1$になる」と覚えよう．

整数に拡張された指数法則

整数$x，y$について次のような性質が成り立つ． ただし，$a，b$は$0$でない実数とする．

  • 1.$a^xa^y=a^{x+y}$
  • 2.$(a^x)^y=a^{xy}$
  • 3.$(ab)^x=a^xb^x $
  • 1'.$\dfrac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$
  • 3'.$\left(\dfrac{a}{b}\right)^x=\dfrac{a^x}{b^x}$

整数に拡張された指数

$x = 3，y = − 2$として，整数に拡張された指数法則1.，2.，3. が成り立つのを確認せよ．

  1. の確認

    （左辺）$=a^3a^{-2}=a^3\times\dfrac{1}{a^2}=a$

    （右辺）$=a^{3+(-2)}=a$

    となり，確かに成立する．

  2. の確認

    （左辺）$=(a^3)^{-2}=\dfrac{1}{(a^3)^2}=\dfrac{1}{a^6}$

    （右辺）$=a^{3\cdot(-2)}=a^{-6}=\dfrac{1}{a^6}$

    となり，確かに成立する．

  3. の確認

    （左辺）$=(ab)^{-2}=\dfrac{1}{(ab)^2}=\dfrac{1}{a^2b^2}$

    （右辺）$=a^{-2}b^{-2}=\dfrac{1}{a^2}\times\dfrac{1}{b^2}=\dfrac{1}{a^2b^2}$

    となり，確かに成立する．

整数に拡張された指数法則1'., 3'.の証明

整数に拡張された指数法則1'.，3'. を，整数に拡張された指数法則1.，2.，3. を用いて証明せよ．

  • 1'.

    の証明

    \begin{align} \dfrac{a^x}{a^y}&=a^x\times\dfrac{1}{a^y}=a^x\times{a^{-y}}\\ &=a^{x-y} \end{align} $\blacktriangleleft$ 整数に拡張された指数法則1.

  • 3'.

    の証明

    \[\left(\dfrac{a}{b}\right)^x=\left(a\times\dfrac{1}{b}\right)^x=\left(a\times b^{-1}\right)^x\] \[=a^x\times \left(b^{-1}\right)^x\] $\blacktriangleleft$ 整数に拡張された指数法則3. \[=a^x\times b^{-x}\] $\blacktriangleleft$ 整数に拡張された指数法則2. \[=a^x\times\dfrac{1}{b^x}=\dfrac{a^x}{b^x}\]

指数の計算-その1-

次の計算をせよ．

  1. $\dfrac{2\cdot2^{-2}}{2^{-3}}$
  2. $\dfrac{10^{10}}{2^7\cdot5^5}$
  3. $\dfrac{(a^2b)^3}{(-ab^3)^2}$
  4. $\dfrac{(a^5b^{-2})^{-3}}{(a^{-2}b)^5}$

  1. 計算していくと

    \[\dfrac{2\cdot2^{-2}}{2^{-3}}=2\cdot2^{-2}\cdot2^{3}\] $\blacktriangleleft$ 整数に拡張された指数法則1'. \[=2^{1-2+3}\] $\blacktriangleleft$整数に拡張された指数法則1. \[=2^2=\boldsymbol{4}\]

  2. 計算していくと

    \[\dfrac{10^{10}}{2^7\cdot5^5}=(10)^{10}\cdot2^{-7}\cdot5^{-5}\] $\blacktriangleleft$整数に拡張された指数法則1'. \[=(2\cdot5)^{10}\cdot2^{-7}\cdot5^{-5}\] \[=2^{10}\cdot5^{10}\cdot2^{-7}\cdot5^{-5}\] $\blacktriangleleft$整数に拡張された指数法則3. \[ =2^{10-7}\cdot5^{10-5}\] $\blacktriangleleft$整数に拡張された指数法則1. \[=2^3\cdot5^5=\boldsymbol{25000}\]

  3. 計算していくと

    \[\dfrac{(a^2b)^3}{(-ab^3)^2}=\dfrac{a^6b^3}{a^2b^6}\] $\blacktriangleleft$整数に拡張された指数法則3. \[=a^6b^3a^{-2}b^{-6}\] $\blacktriangleleft$整数に拡張された指数法則1'. \[=a^{6-2}b^{3-6}\] $\blacktriangleleft$整数に拡張された指数法則1. \[=\boldsymbol{a^4b^{-3}}\]

  4. 計算していくと

    \[\dfrac{(a^5b^{-2})^{-3}}{(a^{-2}b)^5}=\dfrac{a^{-15}b^6}{a^{-10}b^5}\] $\blacktriangleleft$整数に拡張された指数法則3. \[=a^{-15}b^6a^{10}b^{-5}\] $\blacktriangleleft$整数に拡張された指数法則1'. \[=a^{-15+10}b^{6-5}\] $\blacktriangleleft$整数に拡張された指数法則1. \[=\boldsymbol{a^{-5}b}\]

指数の有理数への拡張

$3^{\frac{1}{2}}$の意味

$3^{\frac12}$の意味

今度は，整数に拡張された指数法則2. を使って，指数を有理数に拡張することを考えよう．

たとえば，指数部分が有理数$\dfrac{1}{2}$である，$3^{\frac{1}{2}}$という数の意味は何だろうか． $3^2$が「$3$を$2$回かけた数」であったから，$3^{\frac{1}{2}}$は「$3$を$\dfrac{1}{2}$回かけた数」とでもなるのであろうが， 「$\dfrac{1}{2}$回かける」では意味不明である．

そこで，やはり「指数なのだから指数法則を満たすだろう」と考え，その体系の中で矛盾を生じないように考えていくことにする．

たとえば，($3^\frac{1}{2})^2$という数があったとして，これが整数に拡張された指数法則2. を満たすとすると

\begin{align} \left(3^\frac{1}{2}\right)^2=3^{\frac{1}{2}\times2}=3^1 \end{align}

となる．ここで，$3^\frac{1}{2}$を$X$で表すと

\begin{align} X^2=3 \end{align}

となる．この式を満たす$X$は，$3$の平方根であるから，$3^\frac{1}{2}$は$\sqrt{3}$であると考えられる （もうひとつの平方根$-\sqrt{3}$は$-3^\frac{1}{2}$であると考えればよい）．

$3^{\frac{2}{3}}$の意味

$3^{\frac23}$の意味

また，仮に$3^\frac{2}{3}$という数があったとして，これが整数に拡張された指数法則2. を満たすとすると

\begin{align} \left(3^\frac{2}{3}\right)^3=3^{\frac{2}{3}\times3}=3^2 \end{align}

となる．ここで，$3^\frac{2}{3}$を$Y$で表すと

\begin{align} Y^3=3^2 \end{align}

となる．この式を満たす$Y$は，$3^2$の立方根であり，$Y=\sqrt[3]{3^2}$となる． つまり，$3^\frac{2}{3}$は$\sqrt[3]{3^2}$であると考えられる．

指数の有理数への拡張について

指数の有理数への拡張について

以上の話を一般化して，$a > 0$のとき，有理数$x$を指数とする数$a^x$を定義してみよう．

整数に拡張された指数法則2. が， $x$を$\dfrac{m}{n}$，$y$を$n$（$m，n$は自然数） としても成り立つとすると

\begin{align} (a^\frac{m}{n})^n=a^m \end{align}

すなわち，$n$乗すると$a^m$になるので，$a^\frac{m}{n}$は$a^m$の$n$乗根（のうち正の方）$\sqrt[n]{a^m}$と考えればよい．

有理数に拡張された指数の定義

$a > 0$で，$m$を整数，$n$を自然数とするとき

\begin{align} a^\frac{m}{n}=\sqrt[n]{a^m} \end{align}

とする．

たとえば，$\sqrt[3]{5}=5^\frac{1}{3}，\sqrt[5]{8}=\sqrt[5]{2^3}=2^\frac{3}{5}$である．

指数と累乗

次のうち，$a^\frac{m}{n}$の形で表されたものは$\sqrt[n]{a^m}$の形で表し， $\sqrt[n]{a^m}$の形で表されたものは$a^\frac{m}{n}$の形で表せ．

  1. $a^\frac{1}{2}$
  2. $a^\frac{2}{5}$
  3. $a^{-\frac{3}{2}}$
  4. $a^{-\frac{2}{5}} $
  5. $\sqrt[5]{a}$
  6. $\sqrt[3]{a^5}$
  7. $\sqrt[6]{a^{-3}}$
  8. $\dfrac{1}{\sqrt[4]{a^3}}$

  1. $a^\frac{1}{2}=\boldsymbol{\sqrt{a}} $
  2. $a^\frac{2}{5}=\boldsymbol{\sqrt[5]{a^2}} $
  3. $a^{-\frac{3}{2}}=\boldsymbol{\sqrt[2]{a^{-3}}} $
  4. $a^{-\frac{2}{5}}=\boldsymbol{\sqrt[5]{a^{-2}}} $
  5. $\sqrt[5]{a}=\boldsymbol{a^\frac{1}{5}} $
  6. $\sqrt[3]{a^5}=\boldsymbol{a^\frac{5}{3}} $
  7. $\sqrt[6]{a^{-3}}=a^\frac{-3}{6}=\boldsymbol{a^{-\frac{1}{2}}} $
  8. $\dfrac{1}{\sqrt[4]{a^3}}=\sqrt[4]{\dfrac{1}{a^3}}=\sqrt[4]{a^{-3}}=\boldsymbol{a^{-\frac{3}{4}}}$

有理数に拡張された指数法則

有理数$x，y$について次の等式が成り立つ．ただし，$a，b$は正の実数とする．

  • 1.$a^xa^y=a^{x+y}$
  • 2.$(a^x)^y=a^{xy}$
  • 3.$(ab)^x=a^xb^x $
  • 1'.$\dfrac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$
  • 3'.$\left(\dfrac{a}{b}\right)^x=\dfrac{a^x}{b^x}$

有理数に拡張された指数

$p=\dfrac{2}{3}，q=\dfrac{1}{3}$として，上の有理数に拡張された指数法則1.，2.，3.が成り立つのを確認せよ．

  1. の確認

    （左辺）

    \[=a^\frac{2}{3}a^\frac{1}{3}=\sqrt[3]{a^2}\sqrt[3]{a}\] \[=\sqrt[3]{a^3}\] $\blacktriangleleft$ 累乗根の基本性質2. \[=a\]

    （右辺）

    \[=a^{\frac{2}{3}+\frac{1}{3}}=a\]

    となり，確かに成立する．

  2. の確認

    （左辺）

    \[=(a^\frac{2}{3})^\frac{1}{3}=\sqrt[3]{\sqrt[3]{a^2}}\] \[=\sqrt[9]{a^2}\] $\blacktriangleleft$ 累乗根の基本性質2.

    （右辺）

    \[=a^{\frac{2}{3}\times\frac{1}{3}}=a^\frac{2}{9}=\sqrt[9]{a^2}\]

    となり，確かに成立する．

  3. の確認

    （左辺）$=(ab)^\frac{2}{3}=\sqrt[3]{(ab)^2}=\sqrt[3]{a^2b^2}$

    （右辺）$=a^\frac{2}{3}b^\frac{2}{3}=\sqrt[3]{a^2}\sqrt[3]{b^2}$

    \[=\sqrt[3]{a^2b^2}\] $\blacktriangleleft$ 累乗根の基本性質2.

指数の計算-その2-

次の値を求めよ．

  1. $100^\frac{1}{2}$
  2. $25^{-\frac{1}{2}} $
  3. $8^{-\frac{2}{3}}$
  4. $16^{0.75}$

  1. \begin{align} 100^\frac{1}{2}&=\left(10^2\right)^\frac{1}{2}\\ &=10^{2\times\frac{1}{2}} \\ &=\boldsymbol{10} \end{align} $\blacktriangleleft$ 有理数に拡張された指数法則2.

  2. \begin{align} 25^{-\frac{1}{2}}&=(5^2)^{-\frac{1}{2}}\\ &=5^{2\times\left(-\frac{1}{2}\right)} \\ &=5^{-1}=\boldsymbol{\frac{1}{5}} \end{align} $\blacktriangleleft$ 有理数に拡張された指数法則2.

  3. \begin{align} 8^{-\frac{2}{3}}&=(2^3)^{-\frac{2}{3}}\\ &=2^{2\times\left(-\frac{2}{3}\right)}\\ &=2^{-2}=\boldsymbol{\frac{1}{4}} \end{align} $\blacktriangleleft$ 有理数に拡張された指数法則2.

  4. \begin{align} 16^{0.75}&=16^\frac{75}{100}=16^\frac{3}{4}=(2^4)^\frac{3}{4}\\ &=2^{4\times\frac{3}{4}}\\ &=2^3=\boldsymbol{8} \end{align} $\blacktriangleleft$ 有理数に拡張された指数法則2.

累乗根の値を求める-その2-（再掲）

累乗根の値を求める-その2-の例題を，指数になおすことによって計算せよ． 答えは根号を使わず，指数のままでよい．

  1. $\sqrt[3]{4}\sqrt[3]{16}$
  2. $\dfrac{\sqrt[5]{96}}{\sqrt[5]{3}}$
  3. $\sqrt[3]{216} $
  4. $\sqrt[3]{\sqrt{729}}$
  5. $\sqrt[6]{8}$
  6. $\sqrt[15]{27}$

  1. \[\sqrt[3]{4}\sqrt[3]{16}=\sqrt[3]{2^2}\sqrt[3]{2^4}\] \[=2^\frac{2}{3}2^\frac{4}{3}\] $\blacktriangleleft$有理数に拡張された指数の定義 \[=2^{\frac{2}{3}\cdot\frac{4}{3}}\] $\blacktriangleleft$有理数に拡張された指数法則1. \[=2^2=\boldsymbol{4}\]
  2. \[\frac{\sqrt[5]{96}}{\sqrt[5]{3}}=\frac{96^\frac{1}{5}}{3^\frac{1}{5}}\] $\blacktriangleleft$有理数に拡張された指数の定義 \[=\left(\frac{96}{3}\right)^\frac{1}{5}=32^\frac{1}{5}=(2^5)^\frac{1}{5}\] $\blacktriangleleft$有理数に拡張された指数法則3'. \[=2^{5\cdot\frac{1}{5}}\] $\blacktriangleleft$有理数に拡張された指数法則2. \[=\boldsymbol{2}\]
  3. \[\sqrt[3]{216}=\sqrt[3]{6^3}=\boldsymbol{6}\]
  4. \[\sqrt[3]{\sqrt{729}}=\left(729^\frac{1}{2}\right)^\frac{1}{3}\] $\blacktriangleleft$有理数に拡張された指数の定義 \[=729^{\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}}\] $\blacktriangleleft$有理数に拡張された指数法則2. \[=729^\frac{1}{6}=(3^6)^\frac{1}{6}\] \[=3^{6\cdot\frac{1}{6}}\] $\blacktriangleleft$有理数に拡張された指数法則2. \[=\boldsymbol{3}\]
  5. \[\sqrt[6]{8}=\sqrt[6]{2^3}\] \[=2^\frac{3}{6}\] $\blacktriangleleft$有理数に拡張された指数の定義 \[=\boldsymbol{2^\frac{1}{2}}\]
  6. \[\sqrt[15]{27}=\sqrt[15]{3^3}\] \[=3^\frac{3}{15}\] $\blacktriangleleft$有理数に拡張された指数の定義 \[=\boldsymbol{3^\frac{1}{5}}\]

指数の実数への拡張

指数の実数への拡張について

指数の実数への拡張について

指数$x$が無理数の場合にも，$a^x$を定めることができる．たとえば，$a^{\sqrt{2}}$では，$ \sqrt{2}=1.4142\cdots$だから

\begin{align} a^1~,~~a^{1.4}~,~~a^{1.41}~,~~a^{1.414}~,~~a^{1.4142}~,~~\cdots \end{align}

を考えると，これらはある一定の値に近づいていくので，その値を$a^{\sqrt{2}}$と定める． このようにして，無理数$p$に対して，$a^p$を定めると，指数法則が成り立つことが知られている．

実数に拡張された指数法則

実数$x，y$について次の等式が成り立つ．ただし，$a，b$は正の実数とする．

  • 1.$a^xa^y=a^{x+y}$
  • 2.$(a^x)^y=a^{xy}$
  • 3.$(ab)^x=a^xb^x $
  • 1'.$\dfrac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$
  • 3'.$\left(\dfrac{a}{b}\right)^x=\dfrac{a^x}{b^x}$