指数関数

$y=ax$ の $a$ を $a\gt1$ かつ $a\neq1$ の条件で考えることにより、性質の整った扱いやすい関数になる。ここではこの関数(指数関数)の法則について理解していく。

$y=2^x$ のグラフ

指数が自然数の場合

無題

指数が自然数の場合

ここでは， $a$ を定数とし， $f(x) = a^x$ で表される関数について考えていく．以下では，例として $a = 2$ の場合，つまり $y = 2^x$ のグラフについてみていく．

指数の拡張でみてきたように，指数 $x$ が自然数の場合，整数の場合，有理数の場合と段階を追って確認していくことにする．

まず， $x$ が自然数の場合には，関数 $y = 2^x$ の値は表のようにまとめることができる．

$\ x \$	$\ \boldsymbol{1} \$	$\ \boldsymbol{2} \$	$\ \boldsymbol{3} \$	$\ \boldsymbol{4} \$	$\ \cdots \$
$y$	$\boldsymbol{2}$	$\boldsymbol{4}$	$\boldsymbol{8}$	$\boldsymbol{16}$	$\cdots$

これらの値の組 $(x,~y)$ を座標とする点を，座標平面上にとっていくと，図のようになる．ただし， $x\geqq4$ のときは $y$ の値が大きいので，グラフには入りきっていない．

指数が整数の場合

無題

指数が整数の場合

$x$ が整数の場合には，関数 $y = 2^x$ の値は表のようにまとめることができる．

$x$	$\cdots$	$\boldsymbol{-4}$	$\boldsymbol{-3}$	$\boldsymbol{-2}$	$\boldsymbol{-1}$	$\boldsymbol{0}$	$1$	$2$	$3$	$4$	$\cdots$
$y$	$\cdots$	$\boldsymbol{\dfrac{1}{16}}$	$\boldsymbol{\dfrac{1}{8}}$	$\boldsymbol{\dfrac{1}{4}}$	$\boldsymbol{\dfrac{1}{2}}$	$\boldsymbol{1}$	$2$	$4$	$8$	$16$	$\cdots$

これらの値の組 $(x,~y)$ を座標とする点を，座標平面上にとっていくと，図のようになる．なお， $x$ が $− 1$ や $− 2$ などのときには

$\begin{align} 2^{-1}=\dfrac{1}{2}~,~~2^{-2}=\dfrac{1}{2^2}=\dfrac{1}{4} \end{align}$

として計算している．

指数が有理数の場合

無題

（注）

指数が有理数の場合

$x$ が有理数の場合には， $x$ が整数の場合に加えて，さらに $x$ が $\dfrac{1}{2}$ や $\dfrac{1}{4}$ や $\dfrac{3}{2}$ などの場合も含まれる．

$x$ がこれらの値となるときの $y$ の値は

$\begin{align} &2^\frac{1}{2}=\sqrt{2}\fallingdotseq1.414\\ &2^\frac{1}{4}=(2^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}}=\sqrt{1.414}\fallingdotseq1.189\\ &2^\frac{3}{2}=2^{1+\frac{1}{2}}=2\times2^\frac{1}{2}\fallingdotseq2\times1.414=2.828 \end{align}$

などと計算できるので，表のようにまとめることができる．

$\ x \$	$\ \cdots \$	$\ -4 \$	$\ -3 \$	$\ -2 \$	$\ -1 \$	$\ 0 \$
$y$	$\cdots$	$\dfrac{1}{16}$	$\dfrac{1}{8}$	$\dfrac{1}{4}$	$\dfrac{1}{2}$	$\ 1 \$

$\ x \$	$\ \boldsymbol{\dfrac{1}{4}} \$	$\ \boldsymbol{\dfrac{1}{2}} \$	$\ 1 \$	$\ \boldsymbol{\dfrac{3}{2}}$	$\ 2 \$	$\ 3 \$	$\ 4 \$	$\ \cdots \$
$y$	$\boldsymbol{1.189}$	$\boldsymbol{1.414}$	$2$	$\boldsymbol{2.828}$	$4$	$8$	$16$	$\cdots$

これらの値の組 $(x,~y)$ を座標とする点を，座標平面上にとっていくと，図のようになる．

指数関数の性質

単調増加関数と単調減少関数

いままでみてきた結果から， $y = 2^x$ のグラフは右に進むにつれ，上にあがっていく形になることが予想されるが，それを厳密に示すためにはどうすればよいだろうか．

$x$ の値が増えるにつれ， $2^x$ の値も増えることを示したいのだから，さまざまな（任意の）値 $x_1，x_2$ に対して

$\begin{align} x_1\lt　x_2~\Longrightarrow~2^{x_1}\lt2^{x_2} \end{align}$

が証明できればよい．次の例題でそのことを確認してみよう．

指数関数の単調性

関数 $y = 2^x$ について，次のことを証明せよ．ただし， $x，x_1，x_2$ は任意の有理数とする．

$x \gt 0~\Longleftrightarrow~2^x \gt 1$
$x_1 \lt x_2~\Longrightarrow~2^{x_1} \lt 2^{x_2}$

指数関数の単調性の解答

$\boldsymbol{\Rightarrow}$ の証明（背理法）
$\blacktriangleleft$ 結論 $2^x \gt 1$ の否定 $2^x\leqq1$ を仮定して矛盾を導く
有理数 $x~(>0)$ は $x=\dfrac{m}{n}$ （ $m,~n$ は自然数）とおける．
いま
$\begin{align} 2^x\leqq1 \end{align}$ $\tag{1}\label{shisuukansuunotanchouseinokaitou1}$
と仮定すると
$\begin{align} &(2^x)^n\leqq1^n\\ \Leftrightarrow~&(2^\dfrac{m}{n})^n\leqq1\\ \Leftrightarrow~&2^m\leqq1 \end{align}$
となるが， $m$ は自然数であるから
$\begin{align} & \begin{array}{c} \qquad m個の積 \\ 2^m=\overbrace{2\times 2\times 2 \times \cdots \times 2}^{} \end{array} \\ & \quad \ \ \gt 1\times 1\times 1 \times \cdots \times 1=1 \end{align}$
であることに矛盾する．よって， $x$ が有理数であるとき， $x \gt 0~\Rightarrow 2^x \gt 1$ がいえる．
$\boldsymbol{\Leftarrow}$ の証明（背理法)
$\blacktriangleleft$ 結論 $x \gt 0$ の否定 $x\leqq0$ を仮定して矛盾を導く
有理数 $x$ は $x=\dfrac{m}{n}$ （ $m$ は整数， $n$ は自然数）とおける．いま， $x\leqq0$ ，すなわち
$\begin{align} m\leqq0 \end{align}$ $\tag{2}\label{shisuukansuunotanchouseinokaitou2}$
と仮定すると
$\begin{align} &(2^x)^n>1^n\\ \Leftrightarrow~&(2^\dfrac{m}{n})^n>1\\ \Leftrightarrow~&2^m>1 \end{align}$
となるが， $2 \gt 1$ であり $m$ は正でない整数であるから
$\begin{align} 2^m&=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-m}\end{align}$ $\begin{align} & \begin{array}{c} − m個の積\\ =\overbrace{\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}\times\cdots\times\dfrac{1}{2}}^{} \end{array} \\ & \lt \dfrac{1}{1}\times \dfrac{1}{1}\times\cdots\times\dfrac{1}{1}=1 \end{align}$
であることに矛盾する．よって， $x$ が有理数であるとき， $x \gt 0~\Leftarrow 2^x \gt 1$ がいえる．

$\begin{align} &x_2-x_1>0\\ \Rightarrow~&2^{x_2-x_1}>1\\ \Leftrightarrow~&\dfrac{2^{x_2}}{2^{x_1}}>1\\ \Leftrightarrow~&2^{x_2}>2^{x_1} \end{align}$ $\blacktriangleleft$ $\eqref{shisuukansuunotanchouseinokaitou1}$ より

無題

以上を参考に， $y = 2^x$ のグラフを描くと，右図のような曲線を描くことがわかる．この $y = 2^x$ のように， $x$ の値が増加すると常に $y$ の値も増加するような関数を単調増加関数という．このことを次にまとめておこう．

単調増加関数と単調減少関数の定義

（注）

関数 $f(x)$ の定義域内の任意の実数 $x_1，x_2$ について

$x_1 \lt x_2~\Longrightarrow~f(x_1) \lt f(x_2)$
が成り立つとき，関数 $f(x)$ は単調増加関数（monotone increasing function） という．

$x_1 \lt x_2~\Longrightarrow~f(x_1) \gt f(x_2)$
が成り立つとき，関数 $f(x)$ は単調減少関数（monotone decreasing function）という．
ある関数が単調増加関数であるか単調減少関数である場合に，その関数を単に単調（monotone）な関数という．

無題

次に，関数 $y=\left(\dfrac{1}{2}\right)^x$ のグラフを考えてみよう．

関数 $y=\left(\dfrac{1}{2}\right)^x$ の $x$ に $− x_1$ を代入すると

$\begin{align} \left(\dfrac{1}{2}\right)^{-x_1}=(2^{-1})^{-x_1}=2^{x_1} \end{align}$

と計算できるが，これは関数 $y = 2^x$ の $x$ に $x_1$ を代入したときの値と等しい．これより， $y=\left(\dfrac{1}{2}\right)^x$ のグラフは，図のように $y = 2^x$ のグラフと $y$ 軸に関して対称となるのがわかる．関数 $y=\left(\dfrac{1}{2}\right)^x$ は単調減少関数になっている．

関数 $y = a^x$ は $a$ の値に応じて，次のように変化する．

指数関数の定義

$a$ の $n$ 乗根の表し方でもみたように，負の数 $a$ の $n$ 乗根は存在する場合と存在しない場合があり，それは $n$ が実数のときでも同様である．簡単のため，以下では $a \gt 0$ の場合についてだけ考えるものとする．

また， $a = 1$ のときは $a^x$ は常に $1$ となり，それ以外の場合と大きく挙動が異なるので， $a = 1$ のときは（関数としては考えることができるが）指数関数というくくりには入れないことにする．

指数関数の定義

$a \gt 0,~a\neq1$ とするとき，実数 $x$ に対して

$\begin{align} f(x)=a^x \end{align}$

で表される関数を， $a$ を底てい（base）とする $x$ の指数関数（exponential function）という．

指数関数の性質について

$y = 2^x$ のグラフから学んできたことは，次のようにまとめることができる．指数関数 $y = a^x$ のグラフを見ながら1つ1つ確認しよう．

指数関数の性質

指数関数 $y=a^x$ について，次のようにまとめることができる．

定義域は実数全体，値域は正の実数全体である．

グラフは定点 $(0,~1)$ を通り， $x$ 軸が漸近線となる．

単調な関数であるから， $x$ の値と $y$ の値は1対1に定まる，すなわち
$\begin{align} a^{x_1}=a^{x_2}\Longleftrightarrow{}x_1=x_2 \end{align}$
が成り立つ．

関数の増加と減少について
1. $a \gt 1$ のとき
  $x_1 \lt x_2\Longleftrightarrow{}a^{x_1} \lt a^{x_2}$
2. $0 \lt a \lt 1$ のとき
  $x_1 \lt x_2\Longleftrightarrow{}a^{x_1} \gt a^{x_2}$

吹き出し指数関数の性質について

$0 \lt a \lt 1$ のときは， $x_1$ と $x_2$ の大小関係と， $a^{x_1}$ と $a^{x_2}$ の大小関係は逆になることに注意しよう．たとえば， $4^2 \lt 4^3$ だが $(0.9)^2 \gt (0.9)^3$ である．

指数の大小関係（底が等しい場合）

次の値を小さいものから順に並べよ．

$\sqrt[3]{4}，\left(\sqrt{2}\right)^3，(0.5)^\frac{1}{3}$
$2^{0.3}\,，4^{-\frac{3}{2}}，8^{-\frac{1}{6}}，\left(\sqrt{2}\right)^3$

指数の大小関係（底が等しい場合）の解答

それぞれの値は
指数関数の性質4. より
$\begin{align} &\sqrt[3]{4}=\sqrt[3]{2^2}=2^\frac{2}{3}\\ &\left(\sqrt{2}~\right)^3=2^\frac{3}{2}\\ &\left(0.5\right)^\frac{1}{3}=\left(2^{-1}\right)^{\frac{1}{3}}=2^{-\frac{1}{3}} \end{align}$
$\blacktriangle$ 底を $2$ でそろえてそれぞれの値を比較できるようにした
$y = 2^x$ は増加関数で， $-\dfrac{1}{3}<\dfrac{2}{3}<\dfrac{3}{2}$ だから
$\begin{align} &2^{-\frac{1}{3}}<2^\frac{2}{3}<2^{\frac{3}{2}} \\ \therefore~ &\boldsymbol{4^{-\frac{3}{2}}<8^{-\frac{1}{6}}<2^{0.3}<(\sqrt{2})^3} \end{align}$

それぞれの値は
指数関数の性質4. より
$\begin{align} &2^{0.3}=2^\frac{3}{10}\\ &4^{-\frac{3}{2}}=\left(2^2\right)^{-\frac{3}{2}}=2^{-3}\\ &8^{-\frac{1}{6}}=\left(2^3\right)^{-\frac{1}{6}}=2^{-\frac{1}{2}}\\ &\left(\sqrt{2}\right)^3=\left(2^\frac{1}{2}\right)^3=2^{\frac{3}{2}} \end{align}$
$\blacktriangle$ 底を $2$ でそろえてそれぞれの値を比較できるようにした
と計算でき， $y = 2^x$ は増加関数で， $-3<-\dfrac{1}{2}<\dfrac{3}{10}<\dfrac{3}{2}$ だから
$\begin{align} &2^{-3}<2^{-\frac{1}{2}}<2^\frac{3}{10}<2^\frac{3}{2}\\ \therefore~&\boldsymbol{4^{-\frac{3}{2}}<8^{-\frac{1}{6}}<2^{0.3}<\left(\sqrt{2}~\right)^3} \end{align}$

指数を含む1次方程式・1次不等式

次の方程式，または不等式を解け．

$4^x=2^{x+1}$
$4^x>2^{x+3}$
$\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x-2}=27^x$
$9^x\geqq\left(\dfrac{1}{3}\right)^{1-x}$

指数を含む1次方程式・1次不等式の解答

$4^x=2^{x+1}$
$\Leftrightarrow~2^{2x}=2^{x+1}$ $\blacktriangleleft$ 底を $2$ でそろえた
$\Leftrightarrow~2x=x+1$ $\blacktriangleleft$ 指数関数の性質3.
$\Leftrightarrow~\boldsymbol{x=1}$

$4^x>2^{x+3}$
$\Leftrightarrow~2^{2x}>2^{x+3}$ $\blacktriangleleft$ 底を $2$ でそろえた
$\Leftrightarrow~2x>x+3$ $\blacktriangleleft$ 指数関数の性質4 .
$\Leftrightarrow~\boldsymbol{x>3}$

$\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x-2}=27^x$
$\Leftrightarrow~3^{-x+2}=3^{3x}$ $\blacktriangleleft$ 底を $3$ でそろえた
$\Leftrightarrow~-x+2=3x$ $\blacktriangleleft$ 指数関数の性質3.
$\Leftrightarrow~\boldsymbol{x=\dfrac{1}{2}}$
【別解：底を $\dfrac{1}{3}$ でそろえる場合】
$\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x-2}=\left(\dfrac{1}{3^3}\right)^{-x}$
$\Leftrightarrow~\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x-2}=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{-3x}$ $\blacktriangleleft$ 底を $\dfrac{1}{3}$ でそろえた
$\Leftrightarrow~x-2=-3x$ $\blacktriangleleft$ 指数関数の性質3.
$\Leftrightarrow~\boldsymbol{x=\dfrac{1}{2}}$

$9^x\geqq\left(\dfrac{1}{3}\right)^{1-x}$
$\Leftrightarrow~3^{2x}\geqq3^{-1+x}$ $\blacktriangleleft$ 底を $3$ でそろえた
$\Leftrightarrow~2x\geqq-1+x$ $\blacktriangleleft$ 指数関数の性質3., 4.
$\Leftrightarrow~\boldsymbol{x\geqq-1}$
【別解：底を $\dfrac{1}{3}$ でそろえる場合】
$\left(\dfrac{1}{3^2}\right)^{-x}\geqq\left(\dfrac{1}{3}\right)^{1-x}$
$\Leftrightarrow~\left(\dfrac{1}{3}\right)^{-2x}\geqq\left(\dfrac{1}{3}\right)^{1-x}$ $\blacktriangleleft$ 底を $\dfrac{1}{3}$ でそろえた
$\Leftrightarrow~-2x\leqq 1-x$ $\blacktriangleleft$ 指数関数の性質3. ,4.
$\Leftrightarrow~\boldsymbol{x\geqq-1}$

指数を含む2次方程式・2次不等式

次の方程式，または不等式を解け．

$4^x-2^{x+2}-32=0$
$9^x-24\cdot3^{x-1}-9=0$
$4^x-2^x<2$
$9^x-25\cdot3^x-54>0$

指数を含む2次方程式・2次不等式の解答

式を変形すると
$\begin{align} &4^x-2^{x+2}-32=0\\ \Leftrightarrow~&2^{2x}-2^2\cdot2^x-32=0\\ \Leftrightarrow~&(2^x)^2-4\cdot2^x-32=0 \end{align}$
ここで， $2^x = t$ とおくと
$\begin{align} &t^2-4t-32=0\\ \Leftrightarrow~&(t+4)(t-8)=0 \end{align}$
$\Leftrightarrow~t=-4~,~~8$ $\tag{1}\label{shisuuwohukumu2zihouteishiki2zihutoushiki1}$
いま， $t$ のとり得る値の範囲は $t = 2^x > 0$ なので， $t = − 4$ は不適であり， $\eqref{shisuuwohukumu2zihouteishiki2zihutoushiki1}$ を満たす $t$ は， $t = 8$ のみ． $\blacktriangleleft$ 指数関数の性質1.
よって
$\begin{align} &2^x=8\\ \Leftrightarrow~&2^x=2^3\\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{x=3} \end{align}$ $\blacktriangleleft$ 指数関数の性質3.

式を変形すると
$\begin{align} &9^x-24\cdot3^{x-1}-9=0\\ \Leftrightarrow~&3^{2x}-24\cdot3^{-1}\cdot3^x-9=0\\ \Leftrightarrow~&(3^x)^2-8\cdot3^x-9=0 \end{align}$
ここで， $3^x = t$ とおくと
$\begin{align} &t^2-8t-9=0\\ \Leftrightarrow~&(t+1)(t-9)=0 \end{align}$
$\Leftrightarrow~t=-1~,~~9$ $\tag{2}\label{shisuuwohukumu2zihouteishiki2zihutoushiki2}$
いま， $t$ のとり得る値の範囲は $t = 3^x > 0$ なので， $t = − 1$ は不適であり， $\eqref{shisuuwohukumu2zihouteishiki2zihutoushiki2}$ を満たす $t$ は， $t = 9$ のみ． $\blacktriangleleft$ 指数関数の性質1.
よって
$\begin{align} &3^x=9\\ \Leftrightarrow~&3^x=3^2\\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{x=2} \end{align}$ $\blacktriangleleft$ 指数関数の性質3.

式を変形すると
$\begin{align} &4^x-2^x<2\\ \Leftrightarrow~&2^{2x}-2^x-2<0\\ \Leftrightarrow~&(2^x)^2-2^x-2<0 \end{align}$
ここで， $2^x = t$ とおくと
$\begin{align} &t^2-t-2<0\\ \Leftrightarrow~&(t-2)(t+1)<0\end{align}$
$\Leftrightarrow~-1 \lt t \lt 2$ $\tag{3}\label{shisuuwohukumu2zihouteishiki2zihutoushiki3}$
いま， $t$ のとり得る値の範囲は $t = 2^x > 0$ なので，これと $\eqref{shisuuwohukumu2zihouteishiki2zihutoushiki3}$ をあわせて， $0 < t < 2$ ． $\blacktriangleleft$ 指数関数の性質1.
よって
$\begin{align} &0<2^x<2\\ \Leftrightarrow~&0<2^x<2^1\\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{x<1} \end{align}$ $\blacktriangleleft$ 指数関数の性質4.

式を変形すると
$\begin{align} &9^x-25\cdot3^x-54>0\\ \Leftrightarrow~&3^{2x}-25\cdot3^x-54>0\\ \Leftrightarrow~&(3^x)^2-25\cdot3^x-54>0 \end{align}$
ここで， $3^x = t$ とおくと
$\begin{align} &t^2-25t-54>0\\ \Leftrightarrow~&(t+2)(t-27)\end{align}$
$\Leftrightarrow~-2 \lt t \lt 27$ $\tag{4}\label{shisuuwohukumu2zihouteishiki2zihutoushiki4}$
いま， $t$ のとり得る値の範囲は $t = 3^x > 0$ なので，これと $\eqref{shisuuwohukumu2zihouteishiki2zihutoushiki4}$ をあわせて， $0 < t < 27$ ． $\blacktriangleleft$ 指数関数の性質1.
よって
$\begin{align} &0<3^x<27\\ \Leftrightarrow~&0<3^x<3^3\\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{x<3}\end{align}$
$\blacktriangle$ 指数関数の性質4.なお，すべての実数 $x$ で $3x > 0$ なので， $x$ に下限はない

指数を含む2次関数

次の関数の最大値を求めよ．

$y=4^{x+1}-2^{x+2}+2~~(-2\leqq{x}\leqq2)$
$y=-4^x+2^{x+1}+1~~(x\leqq{2})$

指数を含む2次関数の解答

$2^x = t$ とおくと， $-2\leqq{x}\leqq2$ より
$2^{-2}\leqq{t}\leqq2^2$ $\Leftrightarrow~\dfrac{1}{4}\leqq{t}\leqq4$ $\tag{1}\label{shisuuwohukumu2zikansuu1}$
また
$\begin{align} y&=4^{x+1}-2^{x+2}+2\\ &=4\cdot4^x+2^2\cdot2^x+2\\ &=4\cdot(2^x)^2-4\cdot2^x+2 \end{align}$
より
$\begin{align} y&=4t^2-4t+2\\ &=4\left(t-\dfrac{1}{2}\right)^2+1 \end{align}$
$\eqref{shisuuwohukumu2zikansuu1}$ の範囲では，このグラフは図のようになるので
$(t=4)~x=2$ のとき，最大値 $\boldsymbol{50}$
$\left(t=\dfrac{1}{2}\right)~x=-1$ のとき，最小値 $\boldsymbol{1}$

$2^x = t$ とおくと， $x\leqq 2$ より
$0< t\leqq2^2$ $\Leftrightarrow~0 \lt t\leqq 4$ $\tag{2}\label{shisuuwohukumu2zikansuu2}$
また
$\begin{align} y&=-4^x+2^{x+1}+1\\ &=-(2^x)^2+2\cdot2^x+1 \end{align}$
より
$\begin{align} y&=-t^2+2t+1\\ &=-(t-1)^2+2 \end{align}$
$\eqref{shisuuwohukumu2zikansuu2}$ の範囲では，このグラフは図のようになるので
$(t=1)~x=0$ のとき，最大値 $\boldsymbol{2}$
$(t=4)~x=2$ のとき，最小値 $\boldsymbol{-7}$

指数関数

y=2xy=2^xのグラフ

指数が自然数の場合

無題

指数が整数の場合

無題

指数が有理数の場合

無題

指数関数の性質

単調増加関数と単調減少関数

指数関数の単調性

指数関数の単調性の解答

無題

単調増加関数と単調減少関数の定義

無題

指数関数の定義

指数関数の定義

指数関数の性質について

指数関数の性質

吹き出し指数関数の性質について

指数の大小関係（底が等しい場合）

指数の大小関係（底が等しい場合）の解答

指数を含む1次方程式・1次不等式

指数を含む1次方程式・1次不等式の解答

指数を含む2次方程式・2次不等式

指数を含む2次方程式・2次不等式の解答

指数を含む2次関数

指数を含む2次関数の解答

$y=2^x$ のグラフ