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指数関数

y=axaa>1かつa1の条件で考えることにより、性質の整った扱いやすい関数になる。ここではこの関数(指数関数)の法則について理解していく。

y=2xのグラフ

指数が自然数の場合

無題
無題

指数が自然数の場合

ここでは,aを定数とし,f(x)=axで表される関数について考えていく. 以下では,例としてa=2の場合,つまりy=2xのグラフについてみていく.

指数の拡張でみてきたように,指数xが自然数の場合, 整数の場合,有理数の場合と段階を追って確認していくことにする.

まず,xが自然数の場合には,関数y=2xの値は表のようにまとめることができる.

 x  1  2  3  4   
y24816

これらの値の組(x, y)を座標とする点を,座標平面上にとっていくと,図のようになる. ただし,xのときはyの値が大きいので,グラフには入りきっていない.

指数が整数の場合

無題
無題

指数が整数の場合

xが整数の場合には,関数y = 2^xの値は表のようにまとめることができる.

x\cdots\boldsymbol{-4}\boldsymbol{-3}\boldsymbol{-2}\boldsymbol{-1}\boldsymbol{0}1234\cdots
y\cdots\boldsymbol{\dfrac{1}{16}}\boldsymbol{\dfrac{1}{8}}\boldsymbol{\dfrac{1}{4}}\boldsymbol{\dfrac{1}{2}}\boldsymbol{1}24816\cdots

これらの値の組(x,~y)を座標とする点を,座標平面上にとっていくと,図のようになる. なお,x− 1− 2などのときには

\begin{align} 2^{-1}=\dfrac{1}{2}~,~~2^{-2}=\dfrac{1}{2^2}=\dfrac{1}{4} \end{align}

として計算している.

指数が有理数の場合

無題
無題 (注)

指数が有理数の場合

xが有理数の場合には,xが整数の場合に加えて,さらに x\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{4}\dfrac{3}{2}などの場合も含まれる.

xがこれらの値となるときのyの値は

\begin{align} &2^\frac{1}{2}=\sqrt{2}\fallingdotseq1.414\\ &2^\frac{1}{4}=(2^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}}=\sqrt{1.414}\fallingdotseq1.189\\ &2^\frac{3}{2}=2^{1+\frac{1}{2}}=2\times2^\frac{1}{2}\fallingdotseq2\times1.414=2.828 \end{align}

などと計算できるので,表のようにまとめることができる.

\ x \ \ \cdots \ \ -4 \ \ -3 \ \ -2 \ \ -1 \ \ 0 \
y \cdots \dfrac{1}{16}\dfrac{1}{8}\dfrac{1}{4}\dfrac{1}{2} \ 1 \

\ x \ \ \boldsymbol{\dfrac{1}{4}} \ \ \boldsymbol{\dfrac{1}{2}} \ \ 1 \ \ \boldsymbol{\dfrac{3}{2}} \ 2 \ \ 3 \ \ 4 \ \ \cdots \
y \boldsymbol{1.189} \boldsymbol{1.414}2\boldsymbol{2.828}4 8 16 \cdots

これらの値の組(x,~y)を座標とする点を,座標平面上にとっていくと,図のようになる.

指数関数の性質

単調増加関数と単調減少関数

単調増加関数と単調減少関数

いままでみてきた結果から,y = 2^xのグラフは右に進むにつれ,上にあがっていく形になることが予想されるが, それを厳密に示すためにはどうすればよいだろうか.

xの値が増えるにつれ,2^xの値も増えることを示したいのだから,さまざまな(任意の)値x_1,x_2に対して

\begin{align} x_1\lt x_2~\Longrightarrow~2^{x_1}\lt2^{x_2} \end{align}

が証明できればよい.次の例題でそのことを確認してみよう.

指数関数の単調性

関数y = 2^xについて,次のことを証明せよ.ただし,x,x_1,x_2は任意の有理数とする.

  1. x \gt 0~\Longleftrightarrow~2^x \gt 1
  2. x_1 \lt x_2~\Longrightarrow~2^{x_1} \lt 2^{x_2}

  1. \boldsymbol{\Rightarrow}の証明(背理法)

    \blacktriangleleft結論2^x \gt 1の否定2^x\leqq1を仮定して矛盾を導く

    有理数x~(>0)x=\dfrac{m}{n}m,~nは自然数) とおける.

    いま

    \begin{align} 2^x\leqq1 \end{align} \tag{1}\label{shisuukansuunotanchouseinokaitou1}

    と仮定すると

    \begin{align} &(2^x)^n\leqq1^n\\ \Leftrightarrow~&(2^\dfrac{m}{n})^n\leqq1\\ \Leftrightarrow~&2^m\leqq1 \end{align}

    となるが,mは自然数であるから

    \begin{align} & \begin{array}{c} \qquad m個の積 \\ 2^m=\overbrace{2\times 2\times 2 \times \cdots \times 2}^{} \end{array} \\ & \quad \ \ \gt 1\times 1\times 1 \times \cdots \times 1=1 \end{align}

    であることに矛盾する.よって,xが有理数であるとき,x \gt 0~\Rightarrow 2^x \gt 1がいえる.

    \boldsymbol{\Leftarrow}の証明(背理法)

    \blacktriangleleft結論x \gt 0の否定x\leqq0を仮定して矛盾を導く

    有理数xx=\dfrac{m}{n}mは整数,nは自然数)とおける. いま,x\leqq0,すなわち

    \begin{align} m\leqq0 \end{align}\tag{2}\label{shisuukansuunotanchouseinokaitou2}

    と仮定すると

    \begin{align} &(2^x)^n>1^n\\ \Leftrightarrow~&(2^\dfrac{m}{n})^n>1\\ \Leftrightarrow~&2^m>1 \end{align}

    となるが,2 \gt 1でありmは正でない整数であるから

    \begin{align} 2^m&=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-m}\end{align} \begin{align} & \begin{array}{c} − m個の積\\ =\overbrace{\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}\times\cdots\times\dfrac{1}{2}}^{} \end{array} \\ & \lt \dfrac{1}{1}\times \dfrac{1}{1}\times\cdots\times\dfrac{1}{1}=1 \end{align}

    であることに矛盾する.よって,xが有理数であるとき,x \gt 0~\Leftarrow 2^x \gt 1がいえる.

  2. \begin{align} &x_2-x_1>0\\ \Rightarrow~&2^{x_2-x_1}>1\\ \Leftrightarrow~&\dfrac{2^{x_2}}{2^{x_1}}>1\\ \Leftrightarrow~&2^{x_2}>2^{x_1} \end{align}\blacktriangleleft \eqref{shisuukansuunotanchouseinokaitou1}より

無題
無題

以上を参考に,y = 2^xのグラフを描くと,右図のような曲線を描くことがわかる. このy = 2^xのように,xの値が増加すると常にyの値も増加するような関数を単調増加関数という. このことを次にまとめておこう.

単調増加関数と単調減少関数の定義

(注)

関数f(x)の定義域内の任意の実数x_1,x_2について

  1. x_1 \lt x_2~\Longrightarrow~f(x_1) \lt f(x_2)

    が成り立つとき,関数f(x)単調増加関数(monotone increasing function) という.

  2. x_1 \lt x_2~\Longrightarrow~f(x_1) \gt f(x_2)

    が成り立つとき,関数f(x)単調減少関数(monotone decreasing function)という.

    ある関数が単調増加関数であるか単調減少関数である場合に,その関数を単に単調(monotone)な関数という.

無題
無題

次に,関数y=\left(\dfrac{1}{2}\right)^xのグラフを考えてみよう.

関数y=\left(\dfrac{1}{2}\right)^xx− x_1を代入すると

\begin{align} \left(\dfrac{1}{2}\right)^{-x_1}=(2^{-1})^{-x_1}=2^{x_1} \end{align}

と計算できるが,これは関数y = 2^xxx_1を代入したときの値と等しい. これより,y=\left(\dfrac{1}{2}\right)^xのグラフは,図のようにy = 2^xのグラフとy軸に関して対称となるのがわかる. 関数y=\left(\dfrac{1}{2}\right)^xは単調減少関数になっている.

関数y = a^xaの値に応じて,次のように変化する.

単調増加関数と単調減少関数の図

指数関数の定義

指数関数の定義

an乗根の表し方でもみたように, 負の数an乗根は存在する場合と存在しない場合があり,それはnが実数のときでも同様である. 簡単のため,以下ではa \gt 0の場合についてだけ考えるものとする.

また,a = 1のときはa^x は常に1となり,それ以外の場合と大きく挙動が異なるので, a = 1のときは(関数としては考えることができるが)指数関数というくくりには入れないことにする.

指数関数の定義

a \gt 0,~a\neq1とするとき,実数xに対して

\begin{align} f(x)=a^x \end{align}

で表される関数を,a底てい(base)とするx指数関数(exponential function)という.

指数関数の性質について

指数関数の性質について

y = 2^xのグラフから学んできたことは,次のようにまとめることができる. 指数関数y = a^xのグラフを見ながら1つ1つ確認しよう.

指数関数の性質

指数関数y=a^xについて,次のようにまとめることができる.

指数関数の性質の図

  1. 定義域は実数全体,値域は正の実数全体である.
  2. グラフは定点(0,~1)を通り,x軸が漸近線となる.
  3. 単調な関数であるから,xの値とyの値は1対1に定まる,すなわち

    \begin{align} a^{x_1}=a^{x_2}\Longleftrightarrow{}x_1=x_2 \end{align}

    が成り立つ.

  4. 関数の増加と減少について

    1. a \gt 1のとき

      x_1 \lt x_2\Longleftrightarrow{}a^{x_1} \lt a^{x_2}
    2. 0 \lt a \lt 1のとき

      x_1 \lt x_2\Longleftrightarrow{}a^{x_1} \gt a^{x_2}

吹き出し指数関数の性質について

0 \lt a \lt 1のときは,x_1x_2の大小関係と,a^{x_1}a^{x_2}の大小関係は逆になることに注意しよう. たとえば,4^2 \lt 4^3だが(0.9)^2 \gt (0.9)^3である.

指数の大小関係(底が等しい場合)

次の値を小さいものから順に並べよ.

  1. \sqrt[3]{4},\left(\sqrt{2}\right)^3,(0.5)^\frac{1}{3}
  2. 2^{0.3}\,,4^{-\frac{3}{2}},8^{-\frac{1}{6}},\left(\sqrt{2}\right)^3

  1. それぞれの値は

    指数関数の性質4. より

    指数の大小関係(底が等しい場合)の図その1
    \begin{align} &\sqrt[3]{4}=\sqrt[3]{2^2}=2^\frac{2}{3}\\ &\left(\sqrt{2}~\right)^3=2^\frac{3}{2}\\ &\left(0.5\right)^\frac{1}{3}=\left(2^{-1}\right)^{\frac{1}{3}}=2^{-\frac{1}{3}} \end{align}

    \blacktriangle底を2でそろえてそれぞれの値を比較できるようにした

    y = 2^xは増加関数で,-\dfrac{1}{3}<\dfrac{2}{3}<\dfrac{3}{2}だから

    \begin{align} &2^{-\frac{1}{3}}<2^\frac{2}{3}<2^{\frac{3}{2}} \\ \therefore~ &\boldsymbol{4^{-\frac{3}{2}}<8^{-\frac{1}{6}}<2^{0.3}<(\sqrt{2})^3} \end{align}



  2. それぞれの値は

    指数関数の性質4. より

    指数の大小関係(底が等しい場合)の図その2
    \begin{align} &2^{0.3}=2^\frac{3}{10}\\ &4^{-\frac{3}{2}}=\left(2^2\right)^{-\frac{3}{2}}=2^{-3}\\ &8^{-\frac{1}{6}}=\left(2^3\right)^{-\frac{1}{6}}=2^{-\frac{1}{2}}\\ &\left(\sqrt{2}\right)^3=\left(2^\frac{1}{2}\right)^3=2^{\frac{3}{2}} \end{align}

    \blacktriangle底を2でそろえてそれぞれの値を比較できるようにした

    と計算でき,y = 2^xは増加関数で,-3<-\dfrac{1}{2}<\dfrac{3}{10}<\dfrac{3}{2}だから

    \begin{align} &2^{-3}<2^{-\frac{1}{2}}<2^\frac{3}{10}<2^\frac{3}{2}\\ \therefore~&\boldsymbol{4^{-\frac{3}{2}}<8^{-\frac{1}{6}}<2^{0.3}<\left(\sqrt{2}~\right)^3} \end{align}

指数を含む1次方程式・1次不等式

次の方程式,または不等式を解け.

  1. 4^x=2^{x+1}
  2. 4^x>2^{x+3}
  3. \left(\dfrac{1}{3}\right)^{x-2}=27^x
  4. 9^x\geqq\left(\dfrac{1}{3}\right)^{1-x}

  1. 4^x=2^{x+1}

    \Leftrightarrow~2^{2x}=2^{x+1} \blacktriangleleft底を2でそろえた

    \Leftrightarrow~2x=x+1 \blacktriangleleft 指数関数の性質3.

    \Leftrightarrow~\boldsymbol{x=1}

  2. 4^x>2^{x+3}

    \Leftrightarrow~2^{2x}>2^{x+3} \blacktriangleleft底を2でそろえた

    \Leftrightarrow~2x>x+3 \blacktriangleleft 指数関数の性質4 .

    \Leftrightarrow~\boldsymbol{x>3}

  3. \left(\dfrac{1}{3}\right)^{x-2}=27^x

    \Leftrightarrow~3^{-x+2}=3^{3x} \blacktriangleleft底を3でそろえた

    \Leftrightarrow~-x+2=3x \blacktriangleleft 指数関数の性質3.

    \Leftrightarrow~\boldsymbol{x=\dfrac{1}{2}}

    【別解:底を\dfrac{1}{3}でそろえる場合】

    \left(\dfrac{1}{3}\right)^{x-2}=\left(\dfrac{1}{3^3}\right)^{-x}

    \Leftrightarrow~\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x-2}=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{-3x} \blacktriangleleft底を\dfrac{1}{3}でそろえた

    \Leftrightarrow~x-2=-3x \blacktriangleleft 指数関数の性質3.

    \Leftrightarrow~\boldsymbol{x=\dfrac{1}{2}}

  4. 9^x\geqq\left(\dfrac{1}{3}\right)^{1-x}

    \Leftrightarrow~3^{2x}\geqq3^{-1+x} \blacktriangleleft底を3でそろえた

    \Leftrightarrow~2x\geqq-1+x \blacktriangleleft 指数関数の性質3., 4.

    \Leftrightarrow~\boldsymbol{x\geqq-1}

    【別解:底を\dfrac{1}{3}でそろえる場合】

    \left(\dfrac{1}{3^2}\right)^{-x}\geqq\left(\dfrac{1}{3}\right)^{1-x}

    \Leftrightarrow~\left(\dfrac{1}{3}\right)^{-2x}\geqq\left(\dfrac{1}{3}\right)^{1-x} \blacktriangleleft底を\dfrac{1}{3}でそろえた

    \Leftrightarrow~-2x\leqq 1-x \blacktriangleleft 指数関数の性質3. ,4.

    \Leftrightarrow~\boldsymbol{x\geqq-1}

指数を含む2次方程式・2次不等式

次の方程式,または不等式を解け.

  1. 4^x-2^{x+2}-32=0
  2. 9^x-24\cdot3^{x-1}-9=0
  3. 4^x-2^x<2
  4. 9^x-25\cdot3^x-54>0

  1. 式を変形すると

    \begin{align} &4^x-2^{x+2}-32=0\\ \Leftrightarrow~&2^{2x}-2^2\cdot2^x-32=0\\ \Leftrightarrow~&(2^x)^2-4\cdot2^x-32=0 \end{align}

    ここで,2^x = tとおくと

    \begin{align} &t^2-4t-32=0\\ \Leftrightarrow~&(t+4)(t-8)=0 \end{align}

    \Leftrightarrow~t=-4~,~~8 \tag{1}\label{shisuuwohukumu2zihouteishiki2zihutoushiki1}

    いま,t のとり得る値の範囲はt = 2^x > 0なので, t = − 4は不適であり,\eqref{shisuuwohukumu2zihouteishiki2zihutoushiki1}を満たすt は,t = 8のみ.\blacktriangleleft 指数関数の性質1.

    よって

    \begin{align} &2^x=8\\ \Leftrightarrow~&2^x=2^3\\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{x=3} \end{align} \blacktriangleleft 指数関数の性質3.
  2. 式を変形すると

    \begin{align} &9^x-24\cdot3^{x-1}-9=0\\ \Leftrightarrow~&3^{2x}-24\cdot3^{-1}\cdot3^x-9=0\\ \Leftrightarrow~&(3^x)^2-8\cdot3^x-9=0 \end{align}

    ここで,3^x = tとおくと

    \begin{align} &t^2-8t-9=0\\ \Leftrightarrow~&(t+1)(t-9)=0 \end{align}

    \Leftrightarrow~t=-1~,~~9 \tag{2}\label{shisuuwohukumu2zihouteishiki2zihutoushiki2}

    いま,t のとり得る値の範囲はt = 3^x > 0なので, t = − 1は不適であり,\eqref{shisuuwohukumu2zihouteishiki2zihutoushiki2}を満たすt は,t = 9のみ.\blacktriangleleft指数関数の性質1.

    よって

    \begin{align} &3^x=9\\ \Leftrightarrow~&3^x=3^2\\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{x=2} \end{align} \blacktriangleleft指数関数の性質3.
  3. 式を変形すると

    \begin{align} &4^x-2^x<2\\ \Leftrightarrow~&2^{2x}-2^x-2<0\\ \Leftrightarrow~&(2^x)^2-2^x-2<0 \end{align}

    ここで,2^x = tとおくと

    \begin{align} &t^2-t-2<0\\ \Leftrightarrow~&(t-2)(t+1)<0\end{align}

    \Leftrightarrow~-1 \lt t \lt 2 \tag{3}\label{shisuuwohukumu2zihouteishiki2zihutoushiki3}

    いま,t のとり得る値の範囲はt = 2^x > 0なので, これと\eqref{shisuuwohukumu2zihouteishiki2zihutoushiki3}をあわせて,0 < t < 2\blacktriangleleft指数関数の性質1.

    よって

    \begin{align} &0<2^x<2\\ \Leftrightarrow~&0<2^x<2^1\\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{x<1} \end{align}\blacktriangleleft指数関数の性質4.
  4. 式を変形すると

    \begin{align} &9^x-25\cdot3^x-54>0\\ \Leftrightarrow~&3^{2x}-25\cdot3^x-54>0\\ \Leftrightarrow~&(3^x)^2-25\cdot3^x-54>0 \end{align}

    ここで,3^x = tとおくと

    \begin{align} &t^2-25t-54>0\\ \Leftrightarrow~&(t+2)(t-27)\end{align}

    \Leftrightarrow~-2 \lt t \lt 27 \tag{4}\label{shisuuwohukumu2zihouteishiki2zihutoushiki4}

    いま,t のとり得る値の範囲はt = 3^x > 0なので, これと\eqref{shisuuwohukumu2zihouteishiki2zihutoushiki4}をあわせて,0 < t < 27\blacktriangleleft指数関数の性質1.

    よって

    \begin{align} &0<3^x<27\\ \Leftrightarrow~&0<3^x<3^3\\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{x<3}\end{align}

    \blacktriangle指数関数の性質4.なお,すべての実数x3x > 0なので,x に下限はない

指数を含む2次関数

次の関数の最大値を求めよ.

  1. y=4^{x+1}-2^{x+2}+2~~(-2\leqq{x}\leqq2)
  2. y=-4^x+2^{x+1}+1~~(x\leqq{2})

  1. 2^x = tとおくと,-2\leqq{x}\leqq2より

    2^{-2}\leqq{t}\leqq2^2 \Leftrightarrow~\dfrac{1}{4}\leqq{t}\leqq4 \tag{1}\label{shisuuwohukumu2zikansuu1}
    指数を含む2次関数の解答の図その1

    また

    \begin{align} y&=4^{x+1}-2^{x+2}+2\\ &=4\cdot4^x+2^2\cdot2^x+2\\ &=4\cdot(2^x)^2-4\cdot2^x+2 \end{align}

    より

    \begin{align} y&=4t^2-4t+2\\ &=4\left(t-\dfrac{1}{2}\right)^2+1 \end{align}

    \eqref{shisuuwohukumu2zikansuu1}の範囲では,このグラフは図のようになるので

    (t=4)~x=2のとき,最大値\boldsymbol{50}

    \left(t=\dfrac{1}{2}\right)~x=-1のとき,最小値\boldsymbol{1}

  2. 2^x = tとおくと,x\leqq 2より

    0< t\leqq2^2 \Leftrightarrow~0 \lt t\leqq 4 \tag{2}\label{shisuuwohukumu2zikansuu2}
    指数を含む2次関数の解答の図その2

    また

    \begin{align} y&=-4^x+2^{x+1}+1\\ &=-(2^x)^2+2\cdot2^x+1 \end{align}

    より

    \begin{align} y&=-t^2+2t+1\\ &=-(t-1)^2+2 \end{align}

    \eqref{shisuuwohukumu2zikansuu2}の範囲では,このグラフは図のようになるので

    (t=1)~x=0のとき,最大値\boldsymbol{2}

    (t=4)~x=2のとき,最小値\boldsymbol{-7}