分数式の計算

分数式とは何か

$f(x)$を多項式，$g(x)$を定数でない多項式とするとき， $\dfrac{f(x)}{g(x)}$の形で表した式のことを分数式（fractional expression）という．

たとえば

\begin{align} \dfrac{2x-1}{x-1}~,~~\dfrac{3a}{x-4b}~,~~\dfrac{x-5}{x^2-2x+3} \end{align}

などは，どれも分数式である．

多項式と分数式を合わせて，有理式（rational expression）という．

分数式では，普通の分数と同じように，分母，分子に$0$以外の同じ式をかけてもよいし， 分母，分子に共通な因数で割ってもよい．

分数式の基本演算

分数式$\dfrac{f(x)}{g(x)}$に関して，次の式が成り立つ．

\begin{align} &\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{f(x)\times h(x)}{f(x)\times h(x)}~,\\ &\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{f(x)\div h(x)}{g(x)\div h(x)} \end{align}

ただし，$h(x)\neq0$とする．

これらの変形を行えば，普通の分数と同じように約分（reduction of fraction to its lower terms）や通分（reduction fractions to common denominator）ができる．

分数式の約分

次の分数式を約分せよ．

  1. $\dfrac{2x-2}{6}$
  2. $\dfrac{x^2-1}{x+1}$
  3. $\dfrac{x^2-x-12}{x^2+2x-3}$
  4. $\dfrac{x^2+x-2}{x^3-1}$

  1. 実際に約分をすると

    \begin{align} \dfrac{2x-2}{6}=\boldsymbol{\dfrac{x-1}{3}} \end{align}

  2. 分子を因数分解すると

    \begin{align} \dfrac{x^2-1}{x+1}=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x+1}=\boldsymbol{x-1} \end{align}

  3. 分母・分子を因数分解すると

    \begin{align} \dfrac{x^2-x-12}{x^2+2x-3}=&\dfrac{(x+3)(x-4)}{(x-1)(x+3)}\\ =&\boldsymbol{\dfrac{x-4}{x-1}} \end{align}

  4. 分母・分子を因数分解すると

    \begin{align} \dfrac{x^2+x-2}{x^3-1}&=\dfrac{(x-1)(x+2)}{(x-1)(x^2+x+1)}\\ &=\boldsymbol{\dfrac{x+2}{x^2+x+1}} \end{align}

分数式の分母と分子に共通な因数がないとき，この分数式は既約（irreducible）であるという．

分数式の乗法と除法

分数式の乗法と除法は，普通の分数の場合と同じように，次の規則にしたがって計算する．

分数の乗法・除法

\begin{align} \dfrac{f(x)}{g(x)}\times\dfrac{h(x)}{i(x)}&=\dfrac{f(x)\times h(x)}{f(x)\times i(x)}~,\\ \dfrac{f(x)}{g(x)}\div\dfrac{h(x)}{i(x)}&=\dfrac{f(x)}{g(x)}\times\dfrac{i(x)}{h(x)}\\ &=\dfrac{f(x)\times i(x)}{g(x)\times h(x)} \end{align}

たとえば

\begin{align} &\dfrac{by^2}{ax^2}\div\dfrac{b^2y}{a^2x}=\dfrac{by^2}{ax^2}\times\dfrac{a^2x}{b^2y}\\ &=\dfrac{by^2\times a^2x}{ax^2\times b^2y}=\dfrac{ay}{bx}\\ &\dfrac{x+1}{x}\times\dfrac{x-2}{x(x+1)}\\ &=\dfrac{(x+1)\times(x-2)}{x\times x(x+1)}=\dfrac{x-2}{x^2} \end{align}

と計算することができる．

分数式の乗法と除法

次の式を計算せよ．

  1. $\dfrac{x-1}{x(x+2)}\times\dfrac{x(x+1)}{x-2}$
  2. $\dfrac{x+2}{x+4}\times\dfrac{x^2-8x+16}{x(x-4)} $
  3. $\dfrac{x-3}{x^2+x}\div \dfrac{x+2}{x}$
  4. $\dfrac{x^3-1}{x+2}\div \dfrac{x-1}{x+4}$

  1. $\dfrac{(x-1)\times x(x+1)}{x(x+2)(x-2)}=\boldsymbol{\dfrac{(x+1)(x-1)}{(x-2)(x+2)}}$

  2. $\dfrac{(x+2)(x-4)^2}{x(x+4)(x-4)}=\boldsymbol{\dfrac{(x+2)(x-4)}{x(x+4)}} $

  3. $\dfrac{(x-3)x}{x(x+2)(x+2)}=\boldsymbol{\dfrac{x-3}{(x+2)^2}} $

  4. $\dfrac{(x-1)(x^2+x+1)(x+4)}{(x+2)(x-1)}$
    $=\boldsymbol{\dfrac{(x^2+x+1)(x+4)}{x+2}}$

分数式の加法と減法

分数式の加法と減法は，普通の分数の場合と同じように，次の規則にしたがって計算する．

分数式の加法・減法

$\dfrac{f(x)}{g(x)}+\dfrac{h(x)}{g(x)}=\dfrac{f(x)+h(x)}{g(x)}~,$

$\dfrac{f(x)}{g(x)}-\dfrac{h(x)}{g(x)}=\dfrac{f(x)-h(x)}{g(x)}$

分母が異なる分数式どうしは，通分してから計算する．

たとえば

\begin{align} &\dfrac{2}{x-2}+\dfrac{1}{x+1}\\ =&\dfrac{2(x+1)}{(x-2)(x+1)}+\dfrac{x-2}{(x-2)(x+1)}\\ =&\dfrac{2(x+1)+x-2}{(x-2)(x+1)}=\dfrac{3x}{(x-2)(x+1)} \end{align}

と計算することができる．

分数式の加法と減法

次の式を計算せよ．

  1. $\dfrac{2}{x^2+1}+\dfrac{x}{x^2+1}$
  2. $\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{x^2-1} $
  3. $\dfrac{x}{x+2}-\dfrac{-x+5}{x+2}$
  4. $\dfrac{3}{x^2-x-2}+\dfrac{1}{x^2-5x+6}$

  1. $\dfrac{2+x}{x^2+1}=\boldsymbol{\dfrac{x+2}{x^2+1}} $

  2. $\dfrac{x-1}{x^2-1}+\dfrac{1}{x^2-1}=\boldsymbol{\dfrac{x}{x^2-1}} $

  3. $\dfrac{x-(-x+5)}{x+2}=\boldsymbol{\dfrac{2x-5}{x+2}} $

  4. $\dfrac{3}{(x-2)(x+1)}+\dfrac{1}{(x-2)(x-3)} $
    $=\dfrac{3(x-3)+x+1}{(x-2)(x+1)(x-3)}$
    $=\boldsymbol{\dfrac{4x-8}{x^3-4x^2+x+6}}$

分数式の恒等式

次の式が恒等式となるように，定数$a，b，c$の値を定めよ．

  1. $\dfrac{3x^2-x}{x^3-x^2-x+1}$
    $=\dfrac{a}{x+1}+\dfrac{b}{x-1}+\dfrac{c}{(x-1)^2}$

  2. $\dfrac{1}{x^3+7x^2+14x+8}$
    $=\dfrac{a}{x+1}+\dfrac{b}{x+2}+\dfrac{c}{x+4}$

  1. 両辺に，$(x + 1)(x − 1)^2$を掛けると

    \begin{align} &3x^2-x\\ =&a(x-1)^2+b(x-1)(x+1)+c(x+1) \end{align}

    となる．

    両辺に$x = 1$を代入すると

    \begin{align} &3-1=c(1+1) \\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{c=1} \end{align}

    両辺に$x = − 1$を代入すると

    \begin{align} &3+1=a(-1-1)^2 \\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{a=1} \end{align}

    両辺に$x = 0$を代入すると

    \begin{align} &0=a(0-1)^2+b(0+1)(0-1)\\ &\qquad\qquad+c(0+1) \\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{b=2} \end{align} $\blacktriangleleft a = 1，c = 1$を用いた

  2. 両辺に，$(x + 1)(x + 2)(x + 4)$を掛けると

    \begin{align} 1= &a(x+2)(x+4)+b(x+1)(x+4)\\ &+c(x+1)(x+2) \end{align}

    となる．

    両辺に$x = − 1$を代入すると

    \begin{align} &1=a(-1+2)(-1+4) \\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{a=\dfrac{1}{3}} \end{align}

    両辺に$x = − 2$を代入すると

    \begin{align} &1=b(-2+1)(-2+4) \\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{b=-\dfrac{1}{2}} \end{align}

    両辺に$x = − 4$を代入すると

    \begin{align} &1=c(-4+1)(-4+2) \\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{c=\dfrac{1}{6}} \end{align}