$x^n$の導関数

2項定理より \begin{align} f(x+h)&=(x+h)^n\\ &={_{n}\text{C}_{0}}x^n+{_{n}\text{C}_{1}}x^{n-1}h+\\ &\qquad{_{n}\text{C}_{2}}x^{n-1}h^2+\cdots+{_{n}\text{C}_{n}}h^n \end{align} であるから \begin{align} &\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ &=\{_{n}\text{C}_{0}x^n+{_{n}\text{C}_{1}}x^{n-1}h+{_{n}\text{C}_{2}}x^{n-1}h^2\\ &\qquad+\cdots+{_{n}\text{C}_{n}}h^n-x^n\}\div{h}\\ &={_{n}\text{C}_{1}}x^{n-1}+{_{n}\text{C}_{2}}x^{n-1}h+\cdots+{_{n}\text{C}_{n}}h^{n-1}\\ &\blacktriangleleft _{n}\text{C}_{0}=1であるから_{n}\text{C}_{0}x^n=x^n\\ &\quadなので-x^nと打ち消しあった\\ &\to{_{n}\text{C}_{1}}x^{n-1}~(h\to0)\\ &=nx^{n-1} \end{align} つまり、$f'(x)=nx^{n-1}$ である。