三角関数の相互関係について

三角関数の相互関係について

三角関数においても，FTEXT 数学Iで学んだ三角比の相互関係

\begin{align} &\tan{\theta}=\dfrac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}},\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta}=1,\\ &1+\dfrac{1}{\tan^2{\theta}}=\dfrac{1}{\sin^2{\theta}},\tan^2{\theta}+1=\dfrac{1}{\cos^2{\theta}} \end{align}

が成り立つ．

拡張された三角関数の相互関係

任意の実数$\theta$について，次の式が成り立つ(ただし，分母が$0$となる場合を除く)．

1)$\sin\theta,\cos\theta,\tan\theta$の関係

\begin{align} \tan{\theta}=\dfrac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}} \end{align}

2)$\sin\thetaと\cos\theta$の関係

\begin{align} \sin^2{\theta}+\cos^2{\theta}=1 \end{align}

3)$\tan\thetaと\sin\theta$の関係

\begin{align} 1+\dfrac{1}{\tan^2{\theta}}=\dfrac{1}{\sin^2{\theta}} \end{align}

4)$\cos\thetaと\tan\theta$の関係

\begin{align} \tan^2{\theta}+1=\dfrac{1}{\cos^2{\theta}} \end{align}

吹き出し三角関数の相互関係について

3)と4)は記憶しなくても，1)と2)からすぐに導ける． 2)の両辺を$\sin^2\theta$や$\cos^2\theta$で割って作ればよい，ということだけ覚えておこう．

三角関数の相互関係の利用

  1. $\cos{\theta}=\dfrac{1}{3}$のとき，以下の問いに答えなさい．

    1. $0 < \theta < \pi$のとき，$\sin{\theta},~\tan{\theta}$の値を求めなさい．

    2. $-\dfrac{\pi}{2}<{\theta}<\dfrac{\pi}{2}$のとき，$\sin{\theta},~\tan{\theta}$の値を求めなさい．

  2. $\pi<{\theta}<2\pi,~\tan{\theta}=2$のとき，$\cos{\theta},~\sin{\theta}$の値を求めなさい．

  1. $\sin^2{\theta}=1-\cos^2{\theta}=\dfrac{8}{9}$より，$\sin{\theta}=\pm\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$．

    ←拡張された三角関数の相互関係

    1. $0 < \theta < \pi$より，$\sin\theta > 0$なので

      $\boldsymbol{\sin{\theta}=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}}$．また，$\tan{\theta}=\dfrac{\dfrac{2\sqrt{2}}{3}}{\dfrac{1}{3}}=\boldsymbol{2\sqrt{2}}$．

      ←拡張された三角関数の相互関係

    2. $-\dfrac{\pi}{2}<{\theta}<\dfrac{\pi}{2}$より$\sin\theta$は正負どちらでもよい． よって$\boldsymbol{\sin{\theta}=\pm\dfrac{2\sqrt{2}}{3}}$,$\tan{\theta}=\dfrac{\pm2\sqrt{2}/3}{1/3}=\boldsymbol{\pm 2\sqrt{2}}$．

  2. $\dfrac{1}{\cos^2{\theta}}=1+\tan^2{\theta}=5$より，$\cos{\theta}=\pm\sqrt{\dfrac{1}{5}}$．

    ←拡張された三角関数の相互関係

    ここで，$\pi<{\theta}<2\pi,~\tan{\theta}>0$より$\theta$は第$3$象限の角に対応し，$\cos\theta < 0$． よって，$\boldsymbol{\cos{\theta}=-\dfrac{1}{\sqrt{5}}}$．

    また，$\sin{\theta} =\tan{\theta}\cos{\theta}=2\times \dfrac{1}{\sqrt{5}}=\boldsymbol{-\dfrac{2}{\sqrt{5}}}$．

    ←拡張された三角関数の相互関係

$\sin\theta±\cos\theta$と$\sin\theta\cos\theta$の関係

    1. $\cos{\theta} +\sin{\theta}=\dfrac{1}{2}$のとき，$\sin{\theta}\cos{\theta}$,$\sin{\theta} -\cos{\theta}$の値を求めなさい．

    2. さらに，$0 < \theta < \pi$であるとき，$\sin{\theta},~ \cos{\theta}$の値を求めなさい．

  2. $-\dfrac{\pi}{2}<{\theta}<\dfrac{\pi}{2}$,$\cos{\theta}\sin{\theta}=\dfrac{1}{3}$のとき，$\sin{\theta},~ \cos{\theta}$の値を求めなさい．

    1. $\cos{\theta} +\sin{\theta}=\dfrac{1}{2}$の両辺を$2$乗して

      \begin{align} &1+2\cos{\theta}\sin{\theta}=\dfrac14 \\ ~~\Leftrightarrow~~&\boldsymbol{\cos{\theta}\sin{\theta}=-\dfrac{3}{8}} \end{align}

      ←拡張された三角関数の相互関係

      また，この値を代入すれば，

      \begin{align} &(\cos{\theta} -\sin{\theta})^2\\ &=1-2\cos{\theta}\sin{\theta}\\ &=\dfrac{7}{4} \end{align}

      よって，$\boldsymbol{\cos{\theta} -\sin{\theta}=\pm\dfrac{\sqrt{7}}{2}}$．

    2. 1.より，次の連立方程式が成立する．

      \begin{cases} \cos{\theta} +\sin{\theta}=\dfrac{1}{2}\\ \cos{\theta} -\sin{\theta}=\pm\dfrac{\sqrt{7}}{2} \end{cases}

      上の式を$\tag{1}\label{sinshi-ta+-cosshi-tatosinshi-tacosshi-tanokankei1}$，下の式を$\tag{2}\label{sinshi-ta+-cosshi-tatosinshi-tacosshi-tanokankei2}$とすると，$\eqref{sinshi-ta+-cosshi-tatosinshi-tacosshi-tanokankei1}-\eqref{sinshi-ta+-cosshi-tatosinshi-tacosshi-tanokankei2}$より$2\sin{\theta}=\dfrac{1\mp\sqrt{7}}{2} $であるが，$0 < \theta < \pi$より$\sin\theta > 0$なので，$\boldsymbol{\sin{\theta}=\dfrac{1+\sqrt{7}}{4}}$． つまり，$\cos{\theta} -\sin{\theta}=-\dfrac{\sqrt{7}}{2}$と分かるので， $\eqref{sinshi-ta+-cosshi-tatosinshi-tacosshi-tanokankei1}+\eqref{sinshi-ta+-cosshi-tatosinshi-tacosshi-tanokankei2}$より $\boldsymbol{\cos{\theta}=\dfrac{1-\sqrt{7}}{4}}$となる．

  2. まず，$\cos{\theta} \pm \sin{\theta}$の$2$乗をそれぞれ考えて

    \begin{align} &(\cos{\theta}+\sin{\theta})^2\\ &=1+2\cos{\theta}\sin{\theta}=\dfrac53\\ &(\cos{\theta}-\sin{\theta})^2\\ &=1-2\cos{\theta}\sin{\theta}=\dfrac13\\ \Leftrightarrow~& \cos{\theta}+\sin{\theta}=\pm\dfrac{\sqrt{15}}{3},\\ &\cos{\theta}-\sin{\theta}=\pm\dfrac{\sqrt{3}}{3} \end{align}

    ←拡張された三角関数の相互関係

    である．ここで，$-\dfrac{\pi}{2}<{\theta}<\dfrac{\pi}{2}$より$\cos\theta > 0． \cos\theta\sin\theta > 0$なので$\sin\theta > 0$と分かる．

    よって，$\cos{\theta}>0,~\sin{\theta}>0$から$\cos\theta + \sin\theta > 0$．

    \begin{cases} \cos{\theta} +\sin{\theta}=\dfrac{\sqrt{15}}{3}\\ \cos{\theta} -\sin{\theta}=\pm\dfrac{\sqrt{3}}{3} \end{cases}

    この連立方程式を解いて（複合同順）

    $\boldsymbol{\left(\cos{\theta},~\sin{\theta}\right)}$
    $\boldsymbol{=\left(\dfrac{\sqrt{15}\pm\sqrt{3}}{6},~\dfrac{\sqrt{15}\mp\sqrt{3}}{6}\right)}$