三角関数について

1. $\text{P}~\left(\dfrac{1}{2},~-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$なので

   $\boldsymbol{\cos\dfrac{5}{3}\pi=\dfrac{1}{2}}$

   $\boldsymbol{\sin\dfrac{5}{3}\pi=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}}$

   $\boldsymbol{\tan\dfrac{5}{3}\pi=-\sqrt{3}}$






2. $\text{P}~\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2},~ -\dfrac12\right)$なので

   $\boldsymbol{\cos\dfrac{7}{6}\pi=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}}$

   $\boldsymbol{\sin\dfrac{7}{6}\pi=-\dfrac{1}{2}}$

   $\boldsymbol{\tan\dfrac{7}{6}\pi=\dfrac{\sqrt{3}}{3}}$






3. $\dfrac{23}{3}\pi=\dfrac{5}{3}\pi +3\cdot 2\pi$より，$\dfrac{5}{3}\pi$の三角関数に等しい．1.より

   $\boldsymbol{\cos\dfrac{23}{3}\pi=\dfrac{1}{2}}$

   $\boldsymbol{\sin\dfrac{23}{3}\pi=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}}$

   $\boldsymbol{\tan\dfrac{23}{3}\pi=-\sqrt{3}}$






4. $-\dfrac{15}{4}\pi=\dfrac{1}{4}\pi +(-2)\cdot 2\pi$より，$\dfrac{1}{4}\pi$の三角関数に等しい．よって

   $\boldsymbol{\cos\left(-\dfrac{15}{4}\pi\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}}$

   $\boldsymbol{\sin\left(-\dfrac{15}{4}\pi\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}}$

   $\boldsymbol{\tan\left(-\dfrac{15}{4}\pi\right)=1}$

無題

(動点の$y$座標の値)$=-\dfrac{1}{2}$であればよいので，求める$\theta$は，図の$\angle{\text{POX}},~\angle{\text{P}’\text{OX}}$に等しい．

1. $0\leqq \theta < 2\pi$の範囲では

   $\angle{\text{POX}}=\dfrac{7}{6}\pi,~~$

   $\angle{\text{P}’\text{OX}}=\dfrac{11}{6}\pi$

   となる．つまり，$\boldsymbol{\theta=\dfrac{7}{6}\pi,~\dfrac{11}{6}\pi}$．

2. $0\leqq \theta < 4\pi$の範囲では

   $$\begin{align} &\angle{\text{POX}}=\dfrac{7}{6}\pi,~\dfrac{7}{6}\pi +2\pi\\ &\angle{\text{P}’\text{OX}}=\dfrac{11}{6}\pi,~\dfrac{11}{6}\pi +2\pi \end{align}$$

   となる．つまり，

   $\boldsymbol{\theta=\dfrac{7}{6}\pi,~\dfrac{11}{6}\pi,~\dfrac{19}{6}\pi,~\dfrac{23}{6}\pi}$．

3. $\theta$は任意なので，$n$を整数として

   $$\begin{align} &\angle{\text{POX}}=\dfrac{7}{6}\pi +2n\pi,~~\\ &\angle{\text{P}’\text{OX}}=\dfrac{11}{6}\pi +2n\pi \end{align}$$

   となる．つまり，$\boldsymbol{\theta=\dfrac{7}{6}\pi +2n\pi,~\dfrac{11}{6}\pi +2n\pi}$．

4. $-\pi\leqq \theta < \pi$の範囲では

   $$\begin{align} &\angle{\text{POX}}=\dfrac{7}{6}\pi -2\pi,~~\\ &\angle{\text{P}’\text{OX}}=\dfrac{11}{6}\pi -2\pi \end{align}$$

   となる．つまり， $\boldsymbol{\theta=-\dfrac{5}{6}\pi,~ -\dfrac{1}{6}\pi}$．

無題

(動点の$x$座標の値)$<\dfrac{1}{2}$であればよい．

そのためには，動点が図の太線部分にあればよい．

1. $0\leqq \theta < 2\pi$の範囲では， $\boldsymbol{\dfrac{1}{3}\pi<\theta<\dfrac{5}{3}\pi}$．

2. $0\leqq \theta < 4\pi$の範囲では， 1.の答えに加えて

   $\dfrac{1}{3}\pi +2\pi <\theta<\dfrac{5}{3}\pi +2\pi$

   も満たすので， $\boldsymbol{\dfrac{1}{3}\pi <\theta<\dfrac{5}{3}\pi,~\dfrac{7}{3}\pi <\theta<\dfrac{11}{3}\pi}$．

3. $\theta$は任意なので，

   $\boldsymbol{\dfrac{1}{3}\pi +2n\pi <\theta<\dfrac{5}{3}\pi +2n\pi~~}$($n$は整数)

   が求める答えとなる．

4. $-\pi\leqq \theta < \pi$の範囲では

   $$\begin{align} -\pi \leqq \theta<\dfrac{5}{3}\pi -2\pi,~~ \dfrac{1}{3}\pi <\theta< \pi \end{align}$$

   となる．つまり， $\boldsymbol{-\pi \leqq \theta<-\dfrac{1}{3}\pi,~ \dfrac{1}{3}\pi <\theta<\pi}$．

1. $$\begin{align} &0\leqq \theta <2\pi\\ \Leftrightarrow~&0\leqq 2\theta <4\pi\\ \Leftrightarrow~&0-\dfrac{\pi}{3} \leqq 2\theta-\dfrac{\pi}{3} <4\pi-\dfrac{\pi}{3} \end{align}$$

   より$\boldsymbol{-\dfrac{\pi}{3} \leqq \theta' <\dfrac{11}{3}\pi}$と分かる．

   ←$2$倍しても，$\dfrac{\pi}{3}$を引いても大小関係は変わらない



2. 1.の$\theta'$を用いると，与えられた方程式は$\sin\theta' =\dfrac{\sqrt{3}}{2}$となる． 1.より$-\dfrac{\pi}{3} \leqq \theta' <\dfrac{11}{3}\pi$なので，図より

   $\theta' =\dfrac13\pi,~\dfrac23\pi,~\dfrac73\pi,~\dfrac83\pi$となる．

   $\theta=\dfrac{\theta'}{2}+\dfrac{\pi}{6}$なので

   $$\begin{align} \boldsymbol{\theta= \dfrac13\pi,~\dfrac12\pi,~\dfrac43\pi,~\dfrac32\pi} \end{align}$$


3. 1.の$\theta'$を用いると，与えられた不等式は$\sin\theta' <\dfrac{\sqrt{3}}{2}$となる． 1.より$-\dfrac{\pi}{3} \leqq \theta' <\dfrac{11}{3}\pi$なので

   $-\dfrac{\pi}{3}\leqq \theta' <\dfrac13\pi,~\dfrac23\pi< \theta' <\dfrac73\pi,$
   $~\dfrac83\pi< \theta' <\dfrac{11}{3}\pi$となる．$\theta'=2\theta-\dfrac{\pi}{3}$を代入して$\theta$について解けば

   ←たとえば

   $$\begin{align} &\dfrac{2}{3}\pi< 2\theta-\dfrac{\pi}{3} <\dfrac{7}{3}\pi\\ \Leftrightarrow~&\pi< 2\theta<\dfrac83\pi ~\Leftrightarrow~\dfrac{\pi}{2}< \theta<\dfrac{4}{3}\pi \end{align}$$ $$\begin{align} &\boldsymbol{0\leqq\theta< \dfrac{\pi}{3},~\dfrac{\pi}{2}<\theta<\dfrac43\pi,}\\ &\boldsymbol{\dfrac32\pi<\theta <2\pi} \end{align}$$

1. $\sin^2{\theta}=1-\cos^2{\theta}=\dfrac{8}{9}$より，$\sin{\theta}=\pm\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$．

   ←拡張された三角関数の相互関係

   1. $0 < \theta < \pi$より，$\sin\theta > 0$なので

      $\boldsymbol{\sin{\theta}=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}}$．また，$\tan{\theta}=\dfrac{\dfrac{2\sqrt{2}}{3}}{\dfrac{1}{3}}=\boldsymbol{2\sqrt{2}}$．

      ←拡張された三角関数の相互関係

   2. $-\dfrac{\pi}{2}<{\theta}<\dfrac{\pi}{2}$より$\sin\theta$は正負どちらでもよい． よって$\boldsymbol{\sin{\theta}=\pm\dfrac{2\sqrt{2}}{3}}$,$\tan{\theta}=\dfrac{\pm2\sqrt{2}/3}{1/3}=\boldsymbol{\pm 2\sqrt{2}}$．

2. $\dfrac{1}{\cos^2{\theta}}=1+\tan^2{\theta}=5$より，$\cos{\theta}=\pm\sqrt{\dfrac{1}{5}}$．

   ←拡張された三角関数の相互関係

   ここで，$\pi<{\theta}<2\pi,~\tan{\theta}>0$より$\theta$は第$3$象限の角に対応し，$\cos\theta < 0$． よって，$\boldsymbol{\cos{\theta}=-\dfrac{1}{\sqrt{5}}}$．

   また，$\sin{\theta} =\tan{\theta}\cos{\theta}=2\times \dfrac{1}{\sqrt{5}}=\boldsymbol{-\dfrac{2}{\sqrt{5}}}$．

   ←拡張された三角関数の相互関係

1. 1. $\cos{\theta} +\sin{\theta}=\dfrac{1}{2}$の両辺を$2$乗して

      $$\begin{align} &1+2\cos{\theta}\sin{\theta}=\dfrac14 \\ ~~\Leftrightarrow~~&\boldsymbol{\cos{\theta}\sin{\theta}=-\dfrac{3}{8}} \end{align}$$

      ←拡張された三角関数の相互関係

      また，この値を代入すれば，

      $$\begin{align} &(\cos{\theta} -\sin{\theta})^2\\ &=1-2\cos{\theta}\sin{\theta}\\ &=\dfrac{7}{4} \end{align}$$

      よって，$\boldsymbol{\cos{\theta} -\sin{\theta}=\pm\dfrac{\sqrt{7}}{2}}$．

   2. 1.より，次の連立方程式が成立する．

      $$\begin{cases} \cos{\theta} +\sin{\theta}=\dfrac{1}{2}\\ \cos{\theta} -\sin{\theta}=\pm\dfrac{\sqrt{7}}{2} \end{cases}$$

      上の式を$\tag{1}\label{sinshi-ta+-cosshi-tatosinshi-tacosshi-tanokankei1}$，下の式を$\tag{2}\label{sinshi-ta+-cosshi-tatosinshi-tacosshi-tanokankei2}$とすると，$\eqref{sinshi-ta+-cosshi-tatosinshi-tacosshi-tanokankei1}-\eqref{sinshi-ta+-cosshi-tatosinshi-tacosshi-tanokankei2}$より$2\sin{\theta}=\dfrac{1\mp\sqrt{7}}{2}$であるが，$0 < \theta < \pi$より$\sin\theta > 0$なので，$\boldsymbol{\sin{\theta}=\dfrac{1+\sqrt{7}}{4}}$． つまり，$\cos{\theta} -\sin{\theta}=-\dfrac{\sqrt{7}}{2}$と分かるので， $\eqref{sinshi-ta+-cosshi-tatosinshi-tacosshi-tanokankei1}+\eqref{sinshi-ta+-cosshi-tatosinshi-tacosshi-tanokankei2}$より $\boldsymbol{\cos{\theta}=\dfrac{1-\sqrt{7}}{4}}$となる．

2. まず，$\cos{\theta} \pm \sin{\theta}$の$2$乗をそれぞれ考えて

   $$\begin{align} &(\cos{\theta}+\sin{\theta})^2\\ &=1+2\cos{\theta}\sin{\theta}=\dfrac53\\ &(\cos{\theta}-\sin{\theta})^2\\ &=1-2\cos{\theta}\sin{\theta}=\dfrac13\\ \Leftrightarrow~& \cos{\theta}+\sin{\theta}=\pm\dfrac{\sqrt{15}}{3},\\ &\cos{\theta}-\sin{\theta}=\pm\dfrac{\sqrt{3}}{3} \end{align}$$

   ←拡張された三角関数の相互関係

   である．ここで，$-\dfrac{\pi}{2}<{\theta}<\dfrac{\pi}{2}$より$\cos\theta > 0． \cos\theta\sin\theta > 0$なので$\sin\theta > 0$と分かる．

   よって，$\cos{\theta}>0,~\sin{\theta}>0$から$\cos\theta + \sin\theta > 0$．

   $$\begin{cases} \cos{\theta} +\sin{\theta}=\dfrac{\sqrt{15}}{3}\\ \cos{\theta} -\sin{\theta}=\pm\dfrac{\sqrt{3}}{3} \end{cases}$$

   この連立方程式を解いて（複合同順）

   $\boldsymbol{\left(\cos{\theta},~\sin{\theta}\right)}$
   $\boldsymbol{=\left(\dfrac{\sqrt{15}\pm\sqrt{3}}{6},~\dfrac{\sqrt{15}\mp\sqrt{3}}{6}\right)}$

無題

図のように，単位円周上に角$\theta$の動径$\text{OP}$と 角 $-\theta$( $=\theta'$とする)の動径$\text{OP}'$をとる．

点$\text{P}$の座標を$(x,~y)$とすると，$\triangle{\text{OPQ}}と\triangle{\text{OP}'\text{Q}'}$は合同なので，点$\text{P}'$の座標は$(x,~-y)$となるから

無題

図のように，単位円周上に角$\theta$の動径$\text{OP}$と角$\pi +\theta$( $= \theta'$とする)の動径$\text{OP}'$をとる．

点$\text{P}$の座標を$(x,~y)$とすると， $\triangle{\text{OPQ}}と\triangle{\text{OP}'\text{Q}'}$は合同なので，点$\text{P}'$の座標は$(-x,~-y)$となるから

無題

図のように，単位円周上に角$\theta$の動径$\text{OP}$と 角$\theta+\dfrac{\pi}{2}$($= \theta'$とする)の動径$\text{OP}'$をとる．

点$\text{P}$の座標を$(x,~y)$とすると，$\triangle{\text{OPQ}}と\triangle{\text{OP}'\text{Q}'}$は合同なので，点$\text{P}'$の座標は$(-y,~x)$となるから