三角関数のグラフ

三角関数はグラフに描くとサインカーブという独特の曲線を描く。ここでは、そのグラフについて調べていこう。

$y={\sin}x$のグラフとその周辺のグラフ

三角関数の表しかた

三角関数の表しかた

$\sin\theta$などの三角関数を定義したとき,$\theta$は角度を意味していた.

しかし,三角関数を,ある数$\theta$に対応する数を与える式,とより抽象的にみるならば, $\theta$の意味を角度に限定する必要はない. このため,変数を$\theta$で表さず,$y = \sin x$のように$x$で表すことも多く, 以下でもそのように扱っていく.

$y={\sin}x$ のグラフ

関数$y = \sin x$について,$0 \leqq x \leqq 2\pi$の範囲で $x$と$y$の関係を表にすると,以下のようになる. $x$の値は$\dfrac{1}{6}\pi$刻みでとってある.

$x$$\cdots$$ \ 0 \ $$\dfrac{1}{6}\pi$$\dfrac{1}{3}\pi$$\dfrac{1}{2}\pi$$\dfrac{2}{3}\pi$$\dfrac{5}{6}\pi$$ \ \pi \ $
$y$$\cdots$$0$$\dfrac{1}{2}$$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$1$$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$\dfrac{1}{2}$$0$

$x$$\dfrac{7}{6}\pi$$\dfrac{4}{3}\pi$$\dfrac{3}{2}\pi$$\dfrac{5}{3}\pi$$\dfrac{11}{6}\pi$$2\pi$$\cdots$
$y$$-\dfrac{1}{2}$$-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$-1$$-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$-\dfrac{1}{2}$$0$$\cdots$

この関係をグラフで表すと次の図のようになる.

$y=\sin{x}$ のグラフの図その1

$y=\sin{x}$ のグラフの図その1

たとえば,前の図の点$\text{A}$の$y$座標は動径のなす角が$\dfrac{2}{3}\pi$であるときの動点$\text{A}'$の$y$座標である.

前の図の各点をなめらかにつなぐと次の図のようになる.

$y=\sin{x}$ のグラフの図その2

$y=\sin{x}$ のグラフの図その2

さらに,$x$の値が$2\pi$増えるごとに$\sin x$は同じ値を取ることに注意して, 任意の実数を定義域としたグラフを書くと,次の図のようになる.

$y=\sin{x}$ のグラフの図その3

$y=\sin{x}$ のグラフの図その3

この$y = \sin x$のグラフに表れる曲線のことを,正弦曲線(sine curve) という.

正弦曲線の値域の長さの半分を振幅(amplitude) という. $y = \sin x$の振幅は$1$である.

周期関数の定義

周期関数の定義

$y=\sin{x}$のように,$x$の変化に応じて同じ値をとる関数は,次のようにまとめることができる.

周期関数の定義

(注)

関数$f(x)$が,ある正の実数$p$に対して次の条件

どんな実数$x$に対しても$f(x)=f(x+p)$が成立

を満たすとき,この関数$f(x)$のことを周期関数(periodic function) という.また,上の条件を満たす実数$p$のうち,正の値で最小のものを, この周期関数$f(x)$の周期(period) という.

$f(x)=\sin{x}$とおくと, 任意の実数$x$について$f(x)=f(x+2\pi)$が成り立つので, 関数$y=f(x)=\sin x$は周期関数であり,周期は$2\pi$である. グラフ$y=f(x)$においては「$x$が$2\pi$増加するたびに同じ形が表れる」ことになる.

$y=\sin x$のグラフの特徴

$y=\sin{x}$ のグラフの特徴の図その1
$y=\sin{x}$ のグラフの特徴の図その1

振幅$1$,周期$2\pi$の正弦曲線であり,$y$切片は$0$.

$x$の値の増加に対し,$y$の値は増加と減少を交互に繰り返す.

$y=A{\sin}x$ のグラフとその性質

$y=A\sin x$のグラフとその性質

たとえば,$y=\sin x$のグラフを$y$軸方向に$3$倍すると$y=3\sin x$のグラフになり, $y=\sin x$のグラフを$y$軸方向に$-3$倍すると$y=-3\sin x$のグラフになる.

$y=A\sin{x}$ のグラフとその性質の図その1

$y=A\sin{x}$ のグラフとその性質の図その1

$y=A\sin x$のグラフの特徴

$y=\sin x$のグラフを,$y$軸方向に$A$倍したグラフである,

振幅は $| A |$ ,周期は関数$y=\sin x$と同じ$2\pi$である.

$y=\sin(x-\alpha)$ のグラフ

$y=\sin(x-\alpha)$のグラフ

例として,2つの関数

\begin{align} y&=\sin x\\ y&=\sin \left(x-\dfrac{1}{3}\pi\right) \end{align}

の関係を考えてみよう.

$x$$\cdots$$ \ 0 \ $$\dfrac{1}{6}\pi$$\dfrac{1}{3}\pi$$\dfrac{1}{2}\pi$
$\sin x$$\cdots$$0$$\dfrac{1}{2}$$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$1$
$\sin \left(x-\dfrac{1}{3}\pi\right)$$\cdots$$-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$-\dfrac{1}{2}$$0$$\dfrac{1}{2}$

$x$$\dfrac{2}{3}\pi$$\dfrac{5}{6}\pi$$ \ \pi \ $$\cdots$
$\sin x$$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$\dfrac{1}{2}$$0$$\cdots$
$\sin \left(x-\dfrac{1}{3}\pi\right)$$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$1$$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$\cdots$

$y=\sin \left(x-\dfrac{1}{3}\pi\right)$の$y$の値と$y=\sin x$の$y$の値を一致させるには, $y=\sin \left(x-\dfrac{1}{3}\pi\right)$の$x$に,$y=\sin x$の$x$より$\dfrac{1}{3}\pi$大きい値を代入しなければならない.

$y=\sin(x-\alpha)$ のグラフの図その1
$y=\sin(x-\alpha)$ のグラフの図その1

つまり,$y=\sin \left(x-\dfrac{1}{3}\pi\right)$の正弦曲線は,$y=\sin x$のグラフを$x$軸方向に$\dfrac{1}{3}\pi$だけ平行移動した正弦曲線であると分かる.

このことは,上の表においても確認することができる.

$y=\sin(x-\alpha)$のグラフ

$y=\sin(x-\alpha)$のグラフは,$y=\sin x$のグラフを

「$x$軸方向に$\alpha$平行移動」

したグラフ,周期と振幅も$y=\sin x$と同じであり,それぞれ$2\pi$と$1$である.

$y={\sin}bx$ のグラフ

(注)

$y=\sin bx$のグラフ

例として,関数$y=f(x)=\sin 3x$ のグラフについて考えてみよう.この関数は

$f(0)=\sin 0 =0,~f\left(\dfrac{2}{3}\pi\right)=\sin 2\pi =0,$
$~f\left(\dfrac{4}{3}\pi\right)=\sin 4\pi =0,~f(2\pi)=\sin 6\pi =0$

となり,結局,$x$が$0$から$2\pi$まで増加する間に,$y$は3度同じ値を繰り返すことが分かる.

$y=\sin{bx}$ のグラフの図その1

$y=\sin{bx}$ のグラフの図その1

こうして,$y=\sin x$のグラフを,$y$軸に対して$x$軸方向に$\dfrac{1}{3}$倍したグラフが, 関数$y = \sin3x$のグラフであると分かる.

$y=\sin bx$のグラフ

$y=\sin bx$のグラフは,$y=\sin x$のグラフを$x$軸方向に$b$倍したものであり

周期は$\dfrac{2\pi}{|b|}$,振幅は$1$である.

三角関数のグラフ〜その1〜

以下の関数のグラフを書け.また,周期と振幅を求めよ.

  1. $y=\sin\left(x+\dfrac{1}{3}\pi\right)$
  2. $y=2\sin\left(x-\dfrac{1}{2}\pi\right) $
  3. $y=\sin 2x$
  4. $y=\sin \dfrac{x}{3}$

  1. $y=\sin\left\{x- \left(-\dfrac{1}{3}\pi\right)\right\}$なので,$y=\sin x$のグラフを$x$軸方向に$-\dfrac{1}{3}\pi$平行移動したグラフになる.

    周期は$2\pi$,振幅は$1$である.

    ←$y = \sin x$と同じ

    三角関数のグラフ〜その1〜の解答の図その1
  2. $y=2\sin x$のグラフを$x$軸方向に$\dfrac{1}{2}\pi$平行移動したグラフになる.

    周期は$2\pi$,振幅は$2$である.

    ←$y = 2\sin x$と同じ

    三角関数のグラフ〜その1〜の解答の図その2
  3. $y=\sin 2x$は,$y=\sin x$の周期を$\dfrac{1}{2}$にしたグラフになる.

    周期は$2\pi\div 2 =\boldsymbol{\pi}$,振幅は$1$である.

    三角関数のグラフ〜その1〜の解答の図その3
  4. $y=\sin \dfrac{1}{3}x$は,$y=\sin x$の周期を$3$倍したグラフになる.

    ←$\dfrac{1}{\frac{1}{3}}=3$倍

    周期は$2\pi\times 3 =\boldsymbol{6\pi}$,振幅は$1$である.

    三角関数のグラフ〜その1〜の解答の図その4

$y=A\sin(bx-\alpha)$ のグラフ

(注)

$y=A\sin(bx-\alpha)$のグラフ

たとえば,関数$y=2\sin \left(3x-\dfrac{\pi}{4}\right)$について考えてみよう.

この関数の式は,$y=2\sin 3\left(x-\dfrac{\pi}{12}\right)$と書けるので,次のことが分かる.

  1. 振幅は$2$である.

  2. 周期は$y=2\sin 3x$と同じ$\dfrac{2}{3}\pi$である.

  3. $y=2\sin 3x$を$x$軸方向に$\dfrac{1}{12}\pi$平行移動したグラフになる.つまり,$x=\dfrac{\pi}{12}$のとき$y=\sin 0$であり, $x=\dfrac{3}{4}\pi\left(=\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{2}{3}\pi\right)$のとき,$y=\sin 2\pi$である.

以上より,グラフは次のようになる.

$y=A\sin(bx-\alpha)$ のグラフの図その1

$y=A\sin(bx-\alpha)$ のグラフの図その1

$y=A\sin(bx-\alpha)$のグラフ

$y=A\sin(bx-\alpha)=A\sin b\left(x-\dfrac{\alpha}{b}\right)$のグラフは,$y=A\sin bx$のグラフを 「$x$軸方向に$\dfrac{\alpha}{b}$平行移動」 したグラフである.

周期も振幅も$y=A\sin bx$と同じであり,それぞれ$\dfrac{2\pi}{|b|},A$である.

三角関数のグラフを書く手順

三角関数のグラフを書く手順

三角関数のグラフを書く時は,おおよそ次のiii., ii., i.の順で考えるとよい.つまり

  • iii.$y$座標が$\sin 0$になるときの$x$の値を求める.正弦曲線はそこから始まる.
  • ii.周期を求め,$y$座標が$\sin 2\pi$になるときの$x$の値を求める.これにより,iii.で求めた値から始まる正弦曲線の1周期分の終端が決まる.
  • i.振幅を決める.最後に,$y$切片を計算できる場合は計算する.

三角関数のグラフ〜その2〜

以下の関数のグラフを書け.

  1. $y=\sin\left(2x-\dfrac{1}{3}\pi\right)$
  2. $y=2\sin\left(2x+\dfrac{1}{2}\pi\right) $
  3. $y=\sin\left(\dfrac{x}{3}+\dfrac{\pi}{3}\right) $

  1. $y=\sin2\left(x- \dfrac{1}{6}\pi\right)$なので

    三角関数のグラフ〜その2〜の解答の図その1
  2. $y=2\sin2\left\{x- \left(-\dfrac{1}{4}\pi\right)\right\}$なので

    三角関数のグラフ〜その2〜の解答の図その2
  3. $y=\sin\dfrac{1}{3}\left\{x- \left(-\pi\right)\right\}$なので

    三角関数のグラフ〜その2〜の解答の図その3

$y={\cos}x$、$y={\tan}x$のグラフとその周辺のグラフ

$y={\cos}x$ のグラフ

$y=\cos x$のグラフ

$\cos x=\sin\left(x+ \dfrac{\pi}{2}\right)$,つまり $y=\sin{x}$のグラフを$x$軸方向に$-\dfrac{\pi}{2}$平行移動させたものが,$y=\cos{x}$のグラフである. それゆえ,$y=\cos x$のグラフも正弦曲線になる.

グラフ$y=\cos{x}$の$1$周期分を次の図の太線で示した.

$y=\cos{x}$ のグラフの図その1

$y=\cos{x}$ のグラフの図その1

$y=\cos x$のグラフの特徴

周期が$2\pi,$振幅が$1$の正弦曲線であり,$y$切片が$1$である.

$y={\tan}x$ のグラフ

$y=\tan x$のグラフ

関数$y = \tan x$について,$-\dfrac{\pi}{2} \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2}$の範囲で $x$と$y$の関係を表にすると,以下のようになる.$ x$の値は$\dfrac{1}{6}\pi$刻みでとってある.

$x$$\cdots$$-\dfrac{1}{2}\pi$$-\dfrac{1}{3}\pi$$-\dfrac{1}{6}\pi$$ \ 0 \ $$\dfrac{1}{6}\pi$$\dfrac{1}{3}\pi$$\dfrac{1}{2}\pi$$\cdots$
$\tan{x}$$\cdots$$-\sqrt{3}$$-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$$0$$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$$\sqrt{3}$$\cdots$

$y=\tan{x}$ のグラフの図その1

$y=\tan{x}$ のグラフの図その1

$y=\tan{x}$ のグラフの図その2

$y=\tan{x}$ のグラフの図その2

これをグラフで表し,曲線でつなぐと前の図のようになる。

たとえば,単位円の半径は$1$なので,$\text{A}'$の$y$座標は$\tan \dfrac{1}{3} \pi$となり, これは,$\text{A}$の$y$座標と一致する.

さらに,$x$の値が$\pi$増えるごとに,$\tan$の値は同じ値を取ったので,$ x$を任意の実数を定義域としてグラフを書くと,上の図のようになる.

$y=\tan{x}$ のグラフの図その3
$y=\tan{x}$ のグラフの図その3

ここで,$x=\dfrac{\pi}{2}$の近くでは$y = \tan x$のグラフがどうなっているか考えてみよう. 次の図は,$x=\dfrac{\pi}{2}$の付近のグラフを拡大したものである.

  • $x$が$0$から$\dfrac{\pi}{2}$に向かって大きくなるにつれ,$y$座標は無限大へ近づき,グラフは直線$x=\dfrac{\pi}{2}$に限りなく近づく.
  • $x$が$\pi$から$\dfrac{\pi}{2}$に向かって小さくなるにつれ,$y$座標は負の無限大へ近づき,グラフは直線$x=\dfrac{\pi}{2}$に限りなく近づく.
このように,曲線$C$がある直線$l$に限りなく近づくとき, 直線$l$を曲線$C$の漸近線(asymptotic line) という.

$y=\tan x$のグラフの特徴

周期が$\pi$の曲線である.

$x=\dfrac{\pi}{2} +n\pi$($n$は整数)が漸近線になる.

$y=A\cos(bx+a)$、$y=A\tan(bx+a)$ のグラフ

基本的には,$y = A\sin(bx + \alpha)$の時と同じように考えればよい.

たとえば,関数 $y=4\cos\left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right)$ の場合は,$y=4\cos2\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)$ とも表せるので,次のことが分かる.

  • $y$ 座標が $\cos0$ になるのは $x=\dfrac{1}{6}\pi$ のとき.
  • 周期は $\dfrac{2\pi}{2}=\pi$,$y$ 座標が $\cos2\pi$ になるのは $x=\dfrac{1}{6}\pi+\pi=\dfrac{7}{6}\pi$ のとき.
  • 振幅は $4$,$y$ 切片は $4\cos\left(-\dfrac{1}{3}\pi\right)=2$ である.

$y=A\cos(bx+a)$、$y=A\tan(bx+a)$ のグラフの図その1

$y=A\cos(bx+a)$、$y=A\tan(bx+a)$ のグラフの図その1

三角関数のグラフ〜その3〜

以下の関数のグラフを書きなさい.漸近線があればその式を求めなさい.

  1. $y=\cos\left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right)$
  2. $y=\cos\left(\dfrac{x}{3}+\dfrac{\pi}{3}\right) $
  3. $y=\tan\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right) $
  4. $y=\tan\left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right) $

  1. $y=\cos2\left(x- \dfrac{1}{6}\pi\right)$なので

    三角関数のグラフ〜その3〜の解答の図その1
  2. $y=\cos\dfrac{1}{3}\left\{x-(-\pi)\right\}$なので

    三角関数のグラフ〜その3〜の解答の図その2
  3. $y = \tan x$を$x$軸方向に$\dfrac{\pi}{2}$平行移動すればよいので

    三角関数のグラフ〜その3〜の解答の図その3

    漸近線は直線$x = n\pi$($n$は整数)になる.

  4. $y=\tan2\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)$なので

    三角関数のグラフ〜その3〜の解答の図その4

    漸近線は直線$x=\dfrac{\pi}{12} +\dfrac{n}{2} \pi$($n$は整数)になる.