三角関数のグラフ

三角関数の表しかた

$\sin\theta$などの三角関数を定義したとき，$\theta$は角度を意味していた．

しかし，三角関数を，ある数$\theta$に対応する数を与える式，とより抽象的にみるならば， $\theta$の意味を角度に限定する必要はない． このため，変数を$\theta$で表さず，$y = \sin x$のように$x$で表すことも多く， 以下でもそのように扱っていく．

関数$y = \sin x$について，$0 \leqq x \leqq 2\pi$の範囲で $x$と$y$の関係を表にすると，以下のようになる． $x$の値は$\dfrac{1}{6}\pi$刻みでとってある．

この関係をグラフで表すと次の図のようになる．

たとえば，前の図の点$\text{A}$の$y$座標は動径のなす角が$\dfrac{2}{3}\pi$であるときの動点$\text{A}'$の$y$座標である．

前の図の各点をなめらかにつなぐと次の図のようになる．

さらに，$x$の値が$2\pi$増えるごとに$\sin x$は同じ値を取ることに注意して， 任意の実数を定義域としたグラフを書くと，次の図のようになる．

この$y = \sin x$のグラフに表れる曲線のことを，正弦曲線(sine curve) という．

正弦曲線の値域の長さの半分を振幅(amplitude) という． $y = \sin x$の振幅は$1$である．

周期関数の定義

$y=\sin{x}$のように，$x$の変化に応じて同じ値をとる関数は，次のようにまとめることができる．

$f(x)=\sin{x}$とおくと， 任意の実数$x$について$f(x)=f(x+2\pi)$が成り立つので， 関数$y=f(x)=\sin x$は周期関数であり，周期は$2\pi$である． グラフ$y=f(x)$においては「$x$が$2\pi$増加するたびに同じ形が表れる」ことになる．

$y=A\sin x$のグラフとその性質

たとえば，$y=\sin x$のグラフを$y$軸方向に$3$倍すると$y=3\sin x$のグラフになり， $y=\sin x$のグラフを$y$軸方向に$-3$倍すると$y=-3\sin x$のグラフになる．

$y=\sin(x-\alpha)$のグラフ

例として，2つの関数

の関係を考えてみよう．

$y=\sin \left(x-\dfrac{1}{3}\pi\right)$の$y$の値と$y=\sin x$の$y$の値を一致させるには， $y=\sin \left(x-\dfrac{1}{3}\pi\right)$の$x$に，$y=\sin x$の$x$より$\dfrac{1}{3}\pi$大きい値を代入しなければならない．

$y=\sin(x-\alpha)$ のグラフの図その1

つまり，$y=\sin \left(x-\dfrac{1}{3}\pi\right)$の正弦曲線は，$y=\sin x$のグラフを$x$軸方向に$\dfrac{1}{3}\pi$だけ平行移動した正弦曲線であると分かる．

このことは，上の表においても確認することができる．

$y=\sin bx$のグラフ

例として，関数$y=f(x)=\sin 3x$ のグラフについて考えてみよう．この関数は

$f(0)=\sin 0 =0,~f\left(\dfrac{2}{3}\pi\right)=\sin 2\pi =0,$
$~f\left(\dfrac{4}{3}\pi\right)=\sin 4\pi =0,~f(2\pi)=\sin 6\pi =0$

となり，結局，$x$が$0$から$2\pi$まで増加する間に，$y$は3度同じ値を繰り返すことが分かる．

こうして，$y=\sin x$のグラフを，$y$軸に対して$x$軸方向に$\dfrac{1}{3}$倍したグラフが， 関数$y = \sin3x$のグラフであると分かる．

$y=A\sin(bx-\alpha)$のグラフ

たとえば，関数$y=2\sin \left(3x-\dfrac{\pi}{4}\right)$について考えてみよう．

この関数の式は，$y=2\sin 3\left(x-\dfrac{\pi}{12}\right)$と書けるので，次のことが分かる．

1. 振幅は$2$である．

2. 周期は$y=2\sin 3x$と同じ$\dfrac{2}{3}\pi$である．

3. $y=2\sin 3x$を$x$軸方向に$\dfrac{1}{12}\pi$平行移動したグラフになる．つまり，$x=\dfrac{\pi}{12}$のとき$y=\sin 0$であり， $x=\dfrac{3}{4}\pi\left(=\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{2}{3}\pi\right)$のとき，$y=\sin 2\pi$である．

以上より，グラフは次のようになる．

三角関数のグラフを書く手順

三角関数のグラフを書く時は，おおよそ次のiii., ii., i.の順で考えるとよい．つまり

• iii.$y$座標が$\sin 0$になるときの$x$の値を求める．正弦曲線はそこから始まる．
• ii.周期を求め，$y$座標が$\sin 2\pi$になるときの$x$の値を求める．これにより，iii.で求めた値から始まる正弦曲線の1周期分の終端が決まる．
• i.振幅を決める．最後に，$y$切片を計算できる場合は計算する．

$y=\cos x$のグラフ

$\cos x=\sin\left(x+ \dfrac{\pi}{2}\right)$,つまり $y=\sin{x}$のグラフを$x$軸方向に$-\dfrac{\pi}{2}$平行移動させたものが，$y=\cos{x}$のグラフである． それゆえ，$y=\cos x$のグラフも正弦曲線になる．

グラフ$y=\cos{x}$の$1$周期分を次の図の太線で示した．

$y=\tan x$のグラフ

関数$y = \tan x$について，$-\dfrac{\pi}{2} \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2}$の範囲で $x$と$y$の関係を表にすると，以下のようになる．$ x$の値は$\dfrac{1}{6}\pi$刻みでとってある．

これをグラフで表し，曲線でつなぐと前の図のようになる。

たとえば，単位円の半径は$1$なので，$\text{A}'$の$y$座標は$\tan \dfrac{1}{3} \pi$となり， これは，$\text{A}$の$y$座標と一致する．

さらに，$x$の値が$\pi$増えるごとに，$\tan$の値は同じ値を取ったので，$ x$を任意の実数を定義域としてグラフを書くと，上の図のようになる．

$y=\tan{x}$ のグラフの図その3

ここで，$x=\dfrac{\pi}{2}$の近くでは$y = \tan x$のグラフがどうなっているか考えてみよう． 次の図は，$x=\dfrac{\pi}{2}$の付近のグラフを拡大したものである．

• $x$が$0$から$\dfrac{\pi}{2}$に向かって大きくなるにつれ，$y$座標は無限大へ近づき，グラフは直線$x=\dfrac{\pi}{2}$に限りなく近づく．
• $x$が$\pi$から$\dfrac{\pi}{2}$に向かって小さくなるにつれ，$y$座標は負の無限大へ近づき，グラフは直線$x=\dfrac{\pi}{2}$に限りなく近づく．

基本的には，$y = A\sin(bx + \alpha)$の時と同じように考えればよい．

たとえば，関数 $y=4\cos\left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right)$ の場合は，$y=4\cos2\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)$ とも表せるので，次のことが分かる．

• $y$ 座標が $\cos0$ になるのは $x=\dfrac{1}{6}\pi$ のとき．
• 周期は $\dfrac{2\pi}{2}=\pi$,$y$ 座標が $\cos2\pi$ になるのは $x=\dfrac{1}{6}\pi+\pi=\dfrac{7}{6}\pi$ のとき．
• 振幅は $4$,$y$ 切片は $4\cos\left(-\dfrac{1}{3}\pi\right)=2$ である．