微分の計算法則

微分の計算法則について

微分の計算に関して、次のような法則が成り立つ。これらを使うと、複雑な関数の微分がより簡単にできる。

微分の計算法則

関数 $f(x)$、$g(x)$ の導関数 $f'(x)$、$g'(x)$ が存在するとき

  1. $\left\{f(x){\pm}g(x)\right\}'=f'(x){\pm}g'(x)$
  2. $\left\{kf(x)\right\}'=kf'(x)$
  3. $\left\{f(x)g(x)\right\}'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$
    (関数の積の微分法)
  4. $\left\{f(ax+b)\right\}'=af'(ax+b)$

  1. \begin{align} &\left\{f(x){\pm}g(x)\right\}'\\ =&\displaystyle\lim_{h\to0}\big[\left\{f(x+h){\pm}g(x+h)\right\}\\ &\qquad-\left\{f(x){\pm}g(x)\right\}\big]\div{h}\\ =&\displaystyle\lim_{h\to0}\big[\left\{f(x+h)-f(x)\right\}\\ &\qquad\pm\left\{g(x+h)-g(x)\right\}\big]\div{h}\\ =&\displaystyle\lim_{h\to0}\bigg\{\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ &\qquad\pm\dfrac{g(x+h)-g(x)}{h}\bigg\}\\ =&\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ &\qquad\pm\lim_{h\to0}\dfrac{g(x+h)-g(x)}{h}\\ =&f'(x){\pm}g'(x) \end{align}
  2. \begin{align} &\left\{kf(x)\right\}'\\ =&\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{kf(x+h)-kf(x)}{h}\\ =&k\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ =&kf'(x) \end{align}
  3. \begin{align} &\left\{f(x)g(x)\right\}'\\ =&\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}\\ =&\displaystyle\lim_{h\to0}\big[\left\{f(x+h)-f(x)\right\}g(x+h)\\ &\qquad+f(x)g(x+h)-f(x)g(x)\big]\\ &\qquad\div{h}\\ =&\displaystyle\lim_{h\to0}\big[\left\{f(x+h)-f(x)\right\}g(x+h)\\ &\qquad+f(x)\left\{g(x+h)-g(x)\right\}\big]\div{h}\\ =&\displaystyle\lim_{h\to0}\bigg\{\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}g(x+h)\\ &\qquad+f(x)\dfrac{g(x+h)-g(x)}{h}\bigg\}\\ =&\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}g(x+h)\\ &\qquad+\displaystyle\lim_{h\to0}f(x)\dfrac{g(x+h)-g(x)}{h}\\ =&f'(x)g(x)+f(x)g'(x) \end{align}
  4. \begin{align} &\left\{f(ax+b)\right\}'\\ =&\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{f(a(x+h)+b)-f(ax+b)}{h}\\ =&\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{f((ax+b)+ah)-f(ax+b)}{h}\\ =&\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{f((ax+b)+ah)-f(ax+b)}{ah}\\ &\qquad\times{a}\\ =&f'(ax+b)\cdot{a}\\ =&af'(ax+b) \end{align}

関数を微分する

次の関数を微分せよ。

  1. $y=2x^2-5x-3$
  2. $y=\dfrac{2}{3}x^3+\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{3}$
  3. $y=(x^3+1)(x^2+5)$
  4. $y=(5x-2)^4$

  1. 微分すると \begin{align} y'&=(2x^2-5x-3)'\\ &=(2x^2)'-(5x)'-(3)'\\ &=2(x^2)'-5(x)'-(3)'\\ &=2\cdot2x-5-0\\ &=\boldsymbol{4x-5} \end{align}
  2. 微分すると \begin{align} y'&=\left(\dfrac{2}{3}x^3+\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{3}\right)'\\ &=\left(\dfrac{2}{3}x^3\right)'+\left(\dfrac{1}{2}x\right)'-\left(\dfrac{1}{3}\right)'\\ &=\dfrac{2}{3}(x^3)'+\dfrac{1}{2}\left(x\right)'-\left(\dfrac{1}{3}\right)'\\ &=\dfrac{2}{3}\cdot3x^2+\dfrac{1}{2}-0\\ &=\boldsymbol{2x^2+\dfrac{1}{2}} \end{align}
  3. 微分すると \begin{align} y'&=\left\{(x^3+1)(x^2+5)\right\}'\\ &=(x^3+1)'(x^2+5)\\ &\qquad+(x^3+1)(x^2+5)'\\ &=3x^2(x^2+5)+(x^3+1)2x\\ &=\boldsymbol{5x^4+15x^2+2x} \end{align}
  4. 微分すると \begin{align} y'&=\left\{(5x-2)^4\right\}'\\ &=5\times4(5x-2)^3\\ &=\boldsymbol{20(5x-2)^3} \end{align}

接線・法線の方程式

接線の方程式

接線の方程式

微分係数 $f'(a)$ の意味は、右図の直線 $\text{AT}$ の傾きである。

一般に、曲線 $y=f(x)$ 上の2点 $\text{A}$、$\text{B}$ をとり、点 $\text{B}$ をこの曲線上で点 $\text{A}$ に近づけていくとき、直線 $\text{AB}$ が点 $\text{A}$ を通るある直線 $\text{AT}$ に限りなく近づくならば、この直線 $\text{AT}$ を曲線 $y=f(x)$ の接線 (tangent) といい、この点 $\text{A}$ をこの接線の接点 (point of tangency) という。

つまり

関数 $y=f(x)$ の $x=a$ における微分係数 $f'(a)$ は、この関数のグラフ上の点 $(a,~f(a))$ における接線の傾き

である。

FTEXT 数学Iでも学んだように、傾きが $m$ で点 $(x_0,~y_0)$ を通る直線の方程式は \[y=m(x-x_0)+y_0\] と表せたので、次のようにまとめることができる。

接線の方程式

接線の方程式

接線の方程式

関数 $y=f(x)$ 上の点 $(a,~f(a))$ における接線の方程式は \[y=f'(a)(x-a)+f(a)\] となる。

曲線 $y=f(x)$ 上の点 $(a,~f(a))$ を通り、この点における接線に直交する直線のことを法線 (normal) という。接線の傾き $f'(a)$ に垂直な傾きは、$f'(a)\neq0$ のとき $-\dfrac{1}{f'(a)}$ であるから、法線に関して次のようにまとめることができる。

法線の方程式

法線の方程式

法線の方程式

関数 $y=f(x)$ 上の点 $(a,~f(a))$ における法線の方程式は、$f'(a)\neq0$ のとき \[y=-\dfrac{1}{f'(a)}(x-a)+f(a)\] となる。

$f'(a)=0$ のとき、法線の方程式は $x=a$ となる。

曲線上の点が与えられた場合の接線の求め方

次の曲線において、与えられた $x$ 座標での曲線上の点における接線の方程式を求めよ。また、その点での法線の方程式も求めよ。

  1. $y=x^3-x$、$x=2$
  2. $y=-2x^3+x^2$、$x=-1$
  3. $y=x^4+2x^3$、$x=-2$
  4. $y=-x^5$、$x=1$

  1. まず、$f(x)=x^3-x$ とおくと \[f(2)=2^3-2=6\] であるから曲線上の点の座標は $(2,~6)$ とわかる。また、$f'(x)=3x^2-1$ より \[f'(2)=3\cdot2^2-1=11\] 以上より、求める接線の方程式は \begin{align} &y=11(x-2)+6\\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{y=11x-16} \end{align} 法線の方程式は \begin{align} &y=-\dfrac{1}{11}(x-2)+6\\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{y=-\dfrac{1}{11}x+\dfrac{68}{11}} \end{align}
  2. まず、$f(x)=-2x^3+x^2$ とおくと \[f(-1)=-2(-1)^3+(-1)^2=3\] であるから曲線上の点の座標は $(-1,~3)$ とわかる。また、$f'(x)=-6x^2+2x$ より \[f'(-1)=-6(-1)^2+2(-1)=-8\] 以上より、求める接線の方程式は \begin{align} &y=-8(x+1)+3\\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{y=-8x-5} \end{align} 法線の方程式は \begin{align} &y=\dfrac{1}{8}(x+1)+3\\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{y=\dfrac{1}{8}x+\dfrac{25}{8}} \end{align}
  3. まず、$f(x)=-x^4+2x^3$ とおくと \[f(-2)=-(-2)^4+2(-2)^3=0\] であるから曲線上の点の座標は $(-2,~0)$ とわかる。また、$f'(x)=4x^3+6x^2$ より \[f'(-2)=4(-2)^3+6(-2)^2=-8\] 以上より、求める接線の方程式は \begin{align} &y=-8(x+2)+0\\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{y=-8x-16} \end{align} 法線の方程式は \begin{align} &y=\dfrac{1}{8}(x+2)+0\\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{y=\dfrac{1}{8}x+\dfrac{1}{4}} \end{align}
  4. まず、$f(x)=-x^5$ とおくと \[f(1)=-1^5=-1\] であるから曲線上の点の座標は $(1,~-1)$ とわかる。また、$f'(x)=-5x^4$ より \[f'(1)=-5\cdot1^4=-5\] 以上より、求める接線の方程式は \begin{align} &y=-5(x-1)-1\\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{y=-5x+4} \end{align} 法線の方程式は \begin{align} &y=\dfrac{1}{5}(x-1)-1\\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{y=\dfrac{1}{5}x-\dfrac{6}{5}} \end{align}

接線の傾きが与えられた場合の接線の求め方

次の曲線の接線のうち、与えられた傾きとなる接線の方程式を求めよ。

  1. $y=x^2-3x+2$、傾き $3$
  2. $y=2x^2-x+5$、傾き $7$
  3. $y=x^3+3x-2$、傾き $6$
  4. $y=x^3-6x$、傾き $6$

  1. まず、$f(x)=x^2-3x+2$ とおくと、$f'(x)=2x-3$。傾きが $3$ より \begin{align} &2x-3=3\\ \Leftrightarrow~&x=3 \end{align} また、$f(3)=3^2-3\cdot3+2=2$ より、接点の座標は $(3,~2)$。

    よって、求める接線の方程式は \begin{align} &y=3(x-3)+2\\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{y=3x-7} \end{align}

  2. まず、$f(x)=2x^2-x+5$ とおくと、$f'(x)=4x-1$。傾きが $7$ より \begin{align} &4x-1=7\\ \Leftrightarrow~&x=2 \end{align} また、$f(2)=2\cdot2^2-2+5=11$ より、接点の座標は$(2,~11)$。

    よって、求める接線の方程式は \begin{align} &y=7(x-2)+11\\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{y=7x-3} \end{align}

  3. まず、$f(x)=x^3+3x-2$ とおくと、$f'(x)=3x^2+3$。傾きが $6$ より \begin{align} &3x^2+3=6\\ \Leftrightarrow~&x=\pm1 \end{align} また、$f(1)=1^3+3\cdot1-2=2$、$f(-1)=(-1)3+3(-1)-2=-6$ より、接点の座標は $(1,~2)$ または $(-1,~-6)$。

    よって、求める接線の方程式は \begin{align} &y=6(x-1)+2\\ \Leftrightarrow~&y=6x-4\\ &y=6(x+1)-6\\ \Leftrightarrow~&y=6x \end{align} まとめると、$\boldsymbol{y=6x-4,~y=6x}$

  4. まず、$f(x)=x^3-6x$ とおくと、$f'(x)=3x^2-6$。傾きが $6$ より \begin{align} &3x^2-6=6\\ \Leftrightarrow~&x=\pm2 \end{align} また、$f(2)=2^3-6\cdot2=-4$、$f(-2)=(-2)3-6(-2)=4$ より、接点の座標は $(2,~-4)$ または $(-2,~4)$。

    よって、求める接線の方程式は \begin{align} &y=6(x-2)-4\\ \Leftrightarrow~&y=6x-16\\ &y=6(x+2)+4\\ \Leftrightarrow~&y=6x+16 \end{align} まとめると、$\boldsymbol{y=6x-16,~y=6x+16}$

曲線上の点以外の点が与えられた場合の接線の求め方

次の曲線の接線のうち、与えられた点を通る接線の方程式を求めよ。

  1. $y=x^2+1$、$(2,~5)$
  2. $y=2x^2-3x+1$、$(0,~-1)$
  3. $y=x^3-1$、$(0,-17)$
  4. $y=x^3+2x-6$、$(4,~2)$

  1. $f(x)=x^2+1$ とおくと、$f'(x)=2x$。$(t,~f(t))$ における $f(x)$ の接線の方程式は \begin{align} &y=2t(x-t)+t^2+1\\ \Leftrightarrow~&y=2tx-t^2+1 \end{align} となる。これが $(2,~5)$ を通るとき \begin{align} &5=2t\cdot2-t^2-1\\ \Leftrightarrow~&t^2-4t+4=0\\ \Leftrightarrow~&t=2 \end{align} よって、求める接線の方程式は \begin{align} &y=2\cdot2\cdot x-2^2+1\\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{y=4x-3} \end{align}
  2. $f(x)=2x^2-3x+1$ とおくと、$f'(x)=4x-3$。$(t,~f(t))$ における $f(x)$ の接線の方程式は \begin{align} &y=(4t-3)(x-t)+2t^2-3t+1\\ \Leftrightarrow~&y=(4t-3)x-2t^2+1 \end{align} となる。これが $(0,~-1)$ を通るとき \begin{align} &-1=-2t^2+1\\ \Leftrightarrow~&2t^2-2=0\\ \Leftrightarrow~&t=\pm1 \end{align} よって、求める接線の方程式は \begin{align} &y=(4\cdot1-3)x-2\cdot1^2+1\\ \Leftrightarrow~&y=x-1\\ &y=\left\{4(-1)-3\right\}x-2(-1)^2+1\\ \Leftrightarrow~&y=-7x-1 \end{align} まとめると、$\boldsymbol{y=x-1,~y=-7x-1}$。
  3. $f(x)=x^3-1$ とおくと、$f'(x)=3x^2$。$(t,~f(t))$ における $f(x)$ の接線の方程式は \begin{align} &y=3t^2(x-t)+t^3-1\\ \Leftrightarrow~&y=3t^2x-2t^3-1 \end{align} となる。これが $(0,~-17)$ を通るとき \begin{align} &-17=-2t^3-1\\ \Leftrightarrow~&-2t^3=-16\\ \Leftrightarrow~&t=2 \end{align} よって、求める接線の方程式は \begin{align} &y=3\cdot2^2x-2\cdot2^3-1\\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{y=12x-17} \end{align}
  4. $f(x)=x^3+2x-6$ とおくと、$f'(x)=3x^2+2$。$(t,~f(t))$ における $f(x)$ の接線の方程式は \begin{align} &y=(3t^2+2)(x-t)+t^3+2t-6\\ \Leftrightarrow~&y=(3t^2+2)x-2t^3-6 \end{align} となる。これが $(4,~2)$ を通るとき \begin{align} &2=12t^2+8-2t^3-6\\ \Leftrightarrow~&-2t^3+12t^2=0\\ \Leftrightarrow~&t=0,~6 \end{align} よって、求める接線の方程式は \begin{align} &y=(3\cdot0^2+2)x-2\cdot0^3-6\\ \Leftrightarrow~&y=2x-6\\ &y=\left\{3\cdot6^2 +2\right\}x-2\cdot6^3-6\\ \Leftrightarrow~&y=110x-438 \end{align} まとめると、$\boldsymbol{y=2x-6,~y=110x-438}$。

2次関数と接線の交点~その1~

2次関数 $f(x)=\dfrac{1}{2}x^2-4x+14$ について以下の問いに答えよ。

  1. 放物線 $y=f(x)$ 上の点 $\text{A}(2,~8)$ における接線 $l$ の方程式を求めよ。
  2. 放物線 $y=f(x)$ 上の点 $\text{B}(8,~14)$ における接線 $m$ の方程式を求めよ。
  3. 放物線 $y=f(x)$ と $l$ と $m$ を同一平面上に描き、$l$ と $m$ の交点の $x$ 座標を求めよ。

  1. $f'(x)=x-4$ であるから、点 $\text{A}(2,~8)$ における接線 $l$ の傾きは \[f'(2)=2-4=-2\] となるので、$l$ の方程式は \begin{align} &y=-2(x-2)+8\\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{y=-2x+12} \end{align}
  2. $f'(x)=x-4$ であるから、点 $\text{B}(8,~14)$ における接線 $m$ の傾きは \[f'(8)=8-4=4\] となるので、$m$ の方程式は \begin{align} &y=4(x-8)+14\\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{y=4x-18} \end{align}
  3. $l:y=-2x+12$ と $m:y=4x-18$ を連立して \begin{cases} y=-2x+12\\ y=4x-18 \end{cases} を解くと、$(x,~y)=(5,~2)$。よって、$l$ と $m$ の交点の $x$ 座標は $\boldsymbol{5}$。グラフは右のようになる。

2次関数と接線の交点

放物線 $y=ax^2$ 上の2点 $\text{A}(s,~s^2)$、$\text{B}(t,~t^2)$ における接線をそれぞれ $l$、$m$ とするとき、$l$ と $m$ の交点の $x$ 座標が、点 $\text{A}$、$\text{B}$ の中点の $x$ 座標となることを示せ。ただし、$s\neq{t}$ とする。

まず、接線 $l$ の方程式を求める。

$f(x)=ax^2$ とおくと、$f'(x)=2ax$ であるから、点 $\text{A}(s,~s^2)$ における $l$ の傾きは \[f'(s)=2as\] となるので、$l$ の方程式は \begin{align} &y=2as(x-s)+as^2\\ \Leftrightarrow~&y=2asx-as^2\tag{1}\label{sessenhosennohotesiki1} \end{align} 接線 $m$ も同様にして \[y=2atx-at^2\tag{2}\label{sessenhosennohotesiki2}\] $\eqref{sessenhosennohotesiki1}$ と $\eqref{sessenhosennohotesiki2}$ を連立して \begin{cases} y=2asx-as^2\\ y=2atx-at^2 \end{cases} 上式から下式をひいて $y$ を消去すると \begin{align} &2asx-as^2=2atx-at^2\\ \Leftrightarrow~&2ax(s-t)=a(s^2-t^2)\\ \Leftrightarrow~&x=\dfrac{a(s+t)(s-t)}{2a(s-t)}=\dfrac{s+t}{2} \end{align} よって、$l$ と $m$ の交点の $x$ 座標は、点 $\text{A}$ と点 $\text{B}$ の中点の $x$ 座標 $\dfrac{s+t}{2}$ とつねに等しくなる。

放物線の接線の交点

放物線上の異なる2点 $\text{A}$、$\text{B}$ における接線をそれぞれ $l$、$m$ とするとき、$l$ と $m$ の交点の $x$ 座標は点 $\text{A}$、$\text{B}$ の中点の $x$ 座標と等しい。

吹き出し接線・法線の方程式

『2次関数と接線の交点~その1~』の例題の3でも、接線 $l$ と $m$ の交点の座標が、それら接線の接点の $x$ 座標の中間である $\dfrac{2+8}{2}=5$ になっていることを確認しよう。