定積分の性質について

定積分に関して次のような式が成り立つ。

【証明】

1. 定義に戻って考えると $$\begin{align} \int_{a}^{a}f(x)&=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}f(x_k)\Delta{x}\\ &=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}f(x_k)\times0\\ &=0 \end{align}$$
2. 定義に戻って考えると $$\begin{align} \int_{a}^{b}f(x)dx&=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}f(x_k)\Delta{x}\\ &=-\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}f(x_k)(-\Delta{x})\\ &=-\int_{b}^{a}f(x)dx \end{align}$$
3. 左辺は
   
   右辺は
   
   であり等しい面積を表していると考えられる。
4. 定義に戻って考えると $$\begin{align} &\int_{a}^{b}\left\{f(x)+tg(x)\right\}dx\\ &=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\left\{f(x_k)+tg(x_k)\right\}\Delta{x}\\ &=\lim_{n\to\infty}\bigg\{\sum_{k=1}^{n}f(x_k)\Delta{x}\\ &\qquad+t\sum_{k=1}^{n}g(x_k)\Delta{x}\bigg\}\\ &=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}f(x_k)\Delta{x}\\ &\qquad+t\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}g(x_k)\Delta{x}\\ &=\int_{a}^{b}f(x)dx+t\int_{a}^{b}g(x)dx \end{align}$$