単調増加関数と単調減少関数

単調増加関数と単調減少関数

いままでみてきた結果から，$y = 2^x$のグラフは右に進むにつれ，上にあがっていく形になることが予想されるが， それを厳密に示すためにはどうすればよいだろうか．

$x$の値が増えるにつれ，$2^x$の値も増えることを示したいのだから，さまざまな（任意の）値$x_1，x_2$に対して

\begin{align} x_1\lt　x_2~\Longrightarrow~2^{x_1}\lt2^{x_2} \end{align}

が証明できればよい．次の例題でそのことを確認してみよう．

指数関数の単調性

関数$y = 2^x$について，次のことを証明せよ．ただし，$x，x_1，x_2$は任意の有理数とする．

  1. $x \gt 0~\Longleftrightarrow~2^x \gt 1 $
  2. $x_1 \lt x_2~\Longrightarrow~2^{x_1} \lt 2^{x_2}$

  1. $\boldsymbol{\Rightarrow}$の証明（背理法）

    $\blacktriangleleft$結論$2^x \gt 1$の否定$2^x\leqq1$を仮定して矛盾を導く

    有理数$x~(>0)$は$x=\dfrac{m}{n}$（$m,~n$は自然数） とおける．

    いま

    \begin{align} 2^x\leqq1 \end{align} $\tag{1}\label{shisuukansuunotanchouseinokaitou1}$

    と仮定すると

    \begin{align} &(2^x)^n\leqq1^n\\ \Leftrightarrow~&(2^\dfrac{m}{n})^n\leqq1\\ \Leftrightarrow~&2^m\leqq1 \end{align}

    となるが，$m$は自然数であるから

    \begin{align} & \begin{array}{c} \qquad m個の積 \\ 2^m=\overbrace{2\times 2\times 2 \times \cdots \times 2}^{} \end{array} \\ & \quad \ \ \gt 1\times 1\times 1 \times \cdots \times 1=1 \end{align}

    であることに矛盾する．よって，$x$が有理数であるとき，$x \gt 0~\Rightarrow 2^x \gt 1$がいえる．

    $\boldsymbol{\Leftarrow}$の証明（背理法)

    $\blacktriangleleft$結論$x \gt 0$の否定$x\leqq0$を仮定して矛盾を導く

    有理数$x$は$x=\dfrac{m}{n}$（$m$は整数，$n$は自然数）とおける． いま，$x\leqq0$，すなわち

    \begin{align} m\leqq0 \end{align}$\tag{2}\label{shisuukansuunotanchouseinokaitou2}$

    と仮定すると

    \begin{align} &(2^x)^n>1^n\\ \Leftrightarrow~&(2^\dfrac{m}{n})^n>1\\ \Leftrightarrow~&2^m>1 \end{align}

    となるが，$2 \gt 1$であり$m$は正でない整数であるから

    \begin{align} 2^m&=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-m}\end{align} \begin{align} & \begin{array}{c} − m個の積\\ =\overbrace{\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}\times\cdots\times\dfrac{1}{2}}^{} \end{array} \\ & \lt \dfrac{1}{1}\times \dfrac{1}{1}\times\cdots\times\dfrac{1}{1}=1 \end{align}

    であることに矛盾する．よって，$x$が有理数であるとき，$x \gt 0~\Leftarrow 2^x \gt 1$がいえる．

  2. \begin{align} &x_2-x_1>0\\ \Rightarrow~&2^{x_2-x_1}>1\\ \Leftrightarrow~&\dfrac{2^{x_2}}{2^{x_1}}>1\\ \Leftrightarrow~&2^{x_2}>2^{x_1} \end{align}$\blacktriangleleft$ $\eqref{shisuukansuunotanchouseinokaitou1}$より

無題

無題

以上を参考に，$y = 2^x$のグラフを描くと，右図のような曲線を描くことがわかる． この$y = 2^x$のように，$x$の値が増加すると常に$y$の値も増加するような関数を単調増加関数という． このことを次にまとめておこう．

単調増加関数と単調減少関数の定義

（注）

関数$f(x)$の定義域内の任意の実数$x_1，x_2$について

  1. $x_1 \lt x_2~\Longrightarrow~f(x_1) \lt f(x_2)$

    が成り立つとき，関数$f(x)$は単調増加関数（monotone increasing function） という．

  2. $x_1 \lt x_2~\Longrightarrow~f(x_1) \gt f(x_2)$

    が成り立つとき，関数$f(x)$は単調減少関数（monotone decreasing function）という．

    ある関数が単調増加関数であるか単調減少関数である場合に，その関数を単に単調（monotone）な関数という．

無題

無題

次に，関数$y=\left(\dfrac{1}{2}\right)^x$のグラフを考えてみよう．

関数$y=\left(\dfrac{1}{2}\right)^x$の$x$に $− x_1$を代入すると

\begin{align} \left(\dfrac{1}{2}\right)^{-x_1}=(2^{-1})^{-x_1}=2^{x_1} \end{align}

と計算できるが，これは関数$y = 2^x$の$x$に$x_1$を代入したときの値と等しい． これより，$y=\left(\dfrac{1}{2}\right)^x$のグラフは，図のように$y = 2^x$のグラフと$y$軸に関して対称となるのがわかる． 関数$y=\left(\dfrac{1}{2}\right)^x$は単調減少関数になっている．

関数$y = a^x$ は$a$の値に応じて，次のように変化する．

単調増加関数と単調減少関数の図