半角の公式

2倍角の公式から，次の半角の公式(formula of half angle) を得る．

半角の公式

$\sin^2\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{1-\cos\alpha}{2}$
$\cos^2\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{1+\cos\alpha}{2}$
$\tan^2\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}$

暗記半角の公式の導出

次の『半角の公式』を証明せよ．

$\sin^2\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{1-\cos\alpha}{2}$
$\cos^2\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{1+\cos\alpha}{2}$
$\tan^2\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}$

半角の公式の導出の解答

余弦の倍角の公式$\cos2\alpha = 1 – 2\sin^2\alpha$より
\begin{align} \sin^2\alpha=\dfrac{1-\cos2\alpha}{2} \end{align} $\tag{1}\label{hankakunokoushikinodoushutunokaitou1}$
ここで，$\alpha$を$\dfrac{\alpha}{2}$とおきかえて
\begin{align} \sin^2\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{1-\cos\alpha}{2} \end{align}
余弦の倍角の公式$\cos2\alpha = 2\cos^2\alpha – 1$より
\begin{align} \cos^2\alpha=\dfrac{1+\cos2\alpha}{2} \end{align} $\tag{2}\label{hankakunokoushikinodoushutunokaitou2}$
ここで，$\alpha$を$\dfrac{\alpha}{2}$とおきかえて
\begin{align} \cos^2\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{1+\cos\alpha}{2} \end{align}
$\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$より
\begin{align} \tan^2\alpha&=\dfrac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}\\ &=\dfrac{1-\cos2\alpha}{2}\cdot\dfrac{2}{1+\cos2\alpha}\\ &=\dfrac{1-\cos2\alpha}{1+\cos2\alpha} \end{align}
←$\eqref{hankakunokoushikinodoushutunokaitou1}$，$\eqref{hankakunokoushikinodoushutunokaitou2}$を使った
ここで，$\alpha$を$\dfrac{\alpha}{2}$とおきかえて
\begin{align} \tan^2\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha} \end{align}

吹き出し半角の公式

半角の公式も，2倍角の公式から自力で導けるように練習しておこう．

半角の公式の利用

$t=\tan\dfrac{x}{2}$とするとき，$\cos{x},~\sin{x},~\tan{x}$を$t$の式で表せ．

半角の公式の利用の解答

$t^2=\tan^2\dfrac{x}{2} =\dfrac{1-\cos{x}}{1+\cos{x}}$より

\begin{align} &(1+\cos{x}) t^2 =1-\cos{x} \\ \Leftrightarrow~&(t^2 +1)\cos{x} =1-t^2\\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{\cos{x}=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}} \end{align}

また，倍角の公式より

\begin{align} \tan{x}=\dfrac{2\tan\dfrac{x}{2}}{1-\tan^2\dfrac{x}{2}}=\boldsymbol{\dfrac{2t}{1-t^2}} \end{align}

なので

\begin{align} \sin{x}&=\cos{x} \tan{x}\\ &=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}\cdot \dfrac{2t}{1-t^2}=\boldsymbol{\dfrac{2t}{1+t^2}} \end{align}