2倍角の公式
2倍角の公式
三角関数の加法定理において，$\beta = \alpha$とすると， 次の2倍角の公式(formula of double angle) が得られる．
2倍角の公式
- $\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$
- $\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$
$=1-2\sin^2\alpha$
$=2\cos^2\alpha-1$ - $\tan2\alpha=\dfrac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$
【証明】
正弦の加法定理$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$において，$\beta = \alpha$とすると
\begin{align} \sin2\alpha&=\sin\alpha\cos\alpha+\cos\alpha\sin\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha \end{align}また，正接の加法定理$\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$において， $\beta = \alpha$とすると
\begin{align} \tan2\alpha&=\dfrac{\tan\alpha+\tan\alpha}{1-\tan\alpha\tan\alpha}=\dfrac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha} \end{align}暗記2倍角の公式の導出
余弦の2倍角の公式
\begin{align} &\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\\ &=1-2\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1 \end{align}を証明せよ．
余弦の加法定理$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$において，$\beta = \alpha$とすると
\begin{align} \cos2\alpha&=\cos\alpha\cos\alpha-\sin\alpha\sin\alpha\\ &=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha \end{align}$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$より，$\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha$だから
\begin{align} \cos2\alpha&=(1-\sin^2\alpha)-\sin^2\alpha\\ &=1-2\sin^2\alpha \end{align}$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$より，$\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha$だから
\begin{align} \cos2\alpha&=\cos^2\alpha-(1-\cos^2\alpha)\\ &=2\cos^2\alpha-1 \end{align}吹き出し2倍角の公式
2倍角の公式は，三角関数の加法定理から自力で導けるように練習しておこう．