2倍角・半角の公式

2倍角の公式

2倍角の公式

三角関数の加法定理において，$\beta = \alpha$とすると， 次の2倍角の公式(formula of double angle) が得られる．

2倍角の公式

  1. $\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$
  2. $\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$
    $=1-2\sin^2\alpha$
    $=2\cos^2\alpha-1$
  3. $\tan2\alpha=\dfrac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$

【証明】

正弦の加法定理$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$において，$\beta = \alpha$とすると

\begin{align} \sin2\alpha&=\sin\alpha\cos\alpha+\cos\alpha\sin\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha \end{align}

また，正接の加法定理$\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$において， $\beta = \alpha$とすると

\begin{align} \tan2\alpha&=\dfrac{\tan\alpha+\tan\alpha}{1-\tan\alpha\tan\alpha}=\dfrac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha} \end{align}

暗記2倍角の公式の導出

余弦の2倍角の公式

\begin{align} &\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\\ &=1-2\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1 \end{align}

を証明せよ．

余弦の加法定理$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$において，$\beta = \alpha$とすると

\begin{align} \cos2\alpha&=\cos\alpha\cos\alpha-\sin\alpha\sin\alpha\\ &=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha \end{align}

$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$より，$\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha$だから

\begin{align} \cos2\alpha&=(1-\sin^2\alpha)-\sin^2\alpha\\ &=1-2\sin^2\alpha \end{align}

$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$より，$\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha$だから

\begin{align} \cos2\alpha&=\cos^2\alpha-(1-\cos^2\alpha)\\ &=2\cos^2\alpha-1 \end{align}

吹き出し2倍角の公式

2倍角の公式は，三角関数の加法定理から自力で導けるように練習しておこう．

半角の公式

半角の公式

2倍角の公式から，次の半角の公式(formula of half angle) を得る．

半角の公式

  1. $\sin^2\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{1-\cos\alpha}{2}$
  2. $\cos^2\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{1+\cos\alpha}{2}$
  3. $\tan^2\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}$

暗記半角の公式の導出

次の『半角の公式』を証明せよ．

  1. $\sin^2\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{1-\cos\alpha}{2}$
  2. $\cos^2\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{1+\cos\alpha}{2}$
  3. $\tan^2\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}$

  1. 余弦の倍角の公式$\cos2\alpha = 1 – 2\sin^2\alpha$より

    \begin{align} \sin^2\alpha=\dfrac{1-\cos2\alpha}{2} \end{align} $\tag{1}\label{hankakunokoushikinodoushutunokaitou1}$

    ここで，$\alpha$を$\dfrac{\alpha}{2}$とおきかえて

    \begin{align} \sin^2\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{1-\cos\alpha}{2} \end{align}

  2. 余弦の倍角の公式$\cos2\alpha = 2\cos^2\alpha – 1$より

    \begin{align} \cos^2\alpha=\dfrac{1+\cos2\alpha}{2} \end{align} $\tag{2}\label{hankakunokoushikinodoushutunokaitou2}$

    ここで，$\alpha$を$\dfrac{\alpha}{2}$とおきかえて

    \begin{align} \cos^2\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{1+\cos\alpha}{2} \end{align}

  3. $\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$より

    \begin{align} \tan^2\alpha&=\dfrac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}\\ &=\dfrac{1-\cos2\alpha}{2}\cdot\dfrac{2}{1+\cos2\alpha}\\ &=\dfrac{1-\cos2\alpha}{1+\cos2\alpha} \end{align}

    ←$\eqref{hankakunokoushikinodoushutunokaitou1}$，$\eqref{hankakunokoushikinodoushutunokaitou2}$を使った

    ここで，$\alpha$を$\dfrac{\alpha}{2}$とおきかえて

    \begin{align} \tan^2\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha} \end{align}

吹き出し半角の公式

半角の公式も，2倍角の公式から自力で導けるように練習しておこう．

半角の公式の利用

$t=\tan\dfrac{x}{2}$とするとき，$\cos{x},~\sin{x},~\tan{x}$を$t$の式で表せ．

$t^2=\tan^2\dfrac{x}{2} =\dfrac{1-\cos{x}}{1+\cos{x}}$より

\begin{align} &(1+\cos{x}) t^2 =1-\cos{x} \\ \Leftrightarrow~&(t^2 +1)\cos{x} =1-t^2\\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{\cos{x}=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}} \end{align}

また，倍角の公式より

\begin{align} \tan{x}=\dfrac{2\tan\dfrac{x}{2}}{1-\tan^2\dfrac{x}{2}}=\boldsymbol{\dfrac{2t}{1-t^2}} \end{align}

なので

\begin{align} \sin{x}&=\cos{x} \tan{x}\\ &=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}\cdot \dfrac{2t}{1-t^2}=\boldsymbol{\dfrac{2t}{1+t^2}} \end{align}