三角関数の合成

三角関数の合成について

三角関数の合成について

$a\sin\theta + b\cos\theta$ の形をしている式は，加法定理をもちいてより簡単な形に直すことができる．

図のように， $\sin\theta$ の係数を $x$ 座標とし， $\cos\theta$ の係数を $y$ 座標とする点 $\text{P}(a,~b)$ をとり，線分 $\text{OP}$ が $x$ 軸の正の向きとなす，正の向きの角を $\alpha$ とすると

$\begin{align} \cos\alpha=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}~,~~\sin\alpha=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \end{align}$

$\tag{1}\label{sankakukansuunogouseinituite1}$

だから

$a\sin\theta + b\cos\theta$

$=\sqrt{a^2+b^2}\left(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin\theta\right.$

$\qquad\qquad\qquad\left.+\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos\theta\right)$

← $\sqrt{a^2+b^2}$ で式全体をくくった

$=\sqrt{a^2+b^2}(\cos\alpha\sin\theta+\sin\alpha\cos\theta)$

← $\eqref{sankakukansuunogouseinituite1}$ を使った

$=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\alpha)$

←加法定理を使った

この変形のことを，三角関数の合成(combination of trigonometric function) という．

$a\sin\theta + b\cos\theta$ は

$\begin{align} \cos\alpha=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}~,~~\sin\alpha=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \end{align}$

を満たす $\alpha$ をもちいて

$\begin{align} a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\alpha) \end{align}$

と変形できる．

次の三角関数を合成して， $A\sin(\theta+\alpha)$ の形に変形せよ． $\alpha$ の値が求められるときには求めよ(ただし， $0\leqq\alpha<2\pi$ とする)．

$\begin{align} &\sin\theta+\cos\theta\\ &=\sqrt{1^2+1^2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\sin\theta+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cos\theta\right)\\ &=\sqrt{2}\left(\cos\dfrac{\pi}{4}\sin\theta+\sin\dfrac{\pi}{4}\cos\theta\right)\\ &=\boldsymbol{\sqrt{2}\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{4}\right)} \end{align}$

$\begin{align} &-\sin\theta+\sqrt{3}\cos\theta\\ &=\sqrt{(-1)^2+\sqrt{3}^2}\left(\dfrac{-1}{2}\sin\theta+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta\right)\\ &=2\left(\cos\dfrac{2\pi}{3}\sin\theta+\sin\dfrac{2\pi}{3}\cos\theta\right)\\ &=\boldsymbol{2\sin\left(\theta+\dfrac{2\pi}{3}\right)} \end{align}$

$\begin{align} &3\sin\theta-4\cos\theta\\ &=\sqrt{3^2+(-4)^2}\left(\dfrac{3}{5}\sin\theta-\dfrac{4}{5}\cos\theta\right)\\ &=5\left(\cos\alpha\sin\theta+\sin\alpha\cos\theta\right)\\ &=\boldsymbol{5\sin\left(\theta +\alpha \right)} \end{align}$

ただし， $\alpha$ は図のような角度である．