2次方程式の判別式

2次方程式$ax^2 + bx + c = 0$について，\FTEXT 数学Iでは

  1. $ D = b^2 − 4ac \gt 0$のとき，2つの異なる解をもつ．
  2. $ D = b^2 − 4ac = 0$のとき，重解をもつ．
  3. $ D = b^2 − 4ac \lt 0$のとき，解は存在しない．

と学んだが，解を複素数の範囲まで拡張して考えるならば，次のようにまとめられる．

2次方程式の判別式

2次方程式$ax^2 + bx + c = 0$の判別式$D = b^2 − 4ac$について

  1. $ D = b^2 − 4ac \gt 0$のとき，異なる2つの実数解をもつ．
  2. $ D = b^2 − 4ac = 0$のとき，重解（実数解） をもつ．
  3. $ D = b^2 − 4ac \lt 0$のとき，異なる2つの虚数解をもつ．

となる．

解の判別

次の2次方程式の解を判別せよ．

  1. $x^2 − 4x + 2a + 1 = 0 $
  2. $ x^2 + (a − 1)x − a + 3 = 0 $

  1. 判別式を$D$とすると

    \begin{align} \dfrac{D}{4}=(-2)^2-(2a+1)=3-2a \end{align}
    1. $ \dfrac{D}{4} \gt 0$，すなわち$a\lt\dfrac{3}{2}$のとき，異なる2つの実数解をもつ．
    2. $\dfrac{D}{4}=0$，すなわち$a=\dfrac{3}{2}$のとき，重解をもつ．
    3. $\dfrac{D}{4} \lt 0$，すなわち$a\gt\dfrac{3}{2}$のとき，異なる2つの虚数解をもつ．

  2. 判別式を$D$とすると

    \begin{align} D&=(a-1)^2-4(-a+3)\\ &=a^2+2a-11 \end{align}

    $y = a^2 + 2a – 11$のグラフは右図のようであるから

    1. $ D \gt 0$，すなわち$a\lt-1-2\sqrt{3}，-1+2\sqrt{3}\lt a$のとき，異なる2つの実数解をもつ．
    2. $ D = 0$，すなわち$a=-1\pm 2\sqrt{3}$のとき，重解をもつ．
    3. $D \lt 0$，すなわち$-1-2\sqrt{3}\lt a\lt-1+2\sqrt{3}$のとき，異なる2つの虚数解をもつ．